Сложение гармонических колебаний одного направления.

1. Сложение двух колебаний одного направления (сонаправленных колебаний)

Два гармонических колебания x₁ и x₂ называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени: (т.е. в формуле омега без цифр)

.

Но так как  , то для выполнения условия когерентности двух этих колебаний должны быть равны их циклические частоты  .

Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении сонаправленных колебаний с равными частотами (когерентных колебаний) равна:

.

Начальную фазу результирующего колебания легко найти, если спроектировать векторы А₁ и А₂ на координатные оси ОХ и ОУ (см. Рисунок 9):

.

Итак, результирующее колебание, полученное при сложении двух гармонических сонаправленных колебаний с равными частотами, также является гармоническим колебанием  .

3. Исследуем зависимость амплитуды результирующего колебания от разности начальных фаз складываемых колебаний.

Если  , где n – любое целое неотрицательное число

(n = 0, 1, 2…), то  , т.е. результирующая амплитуда будет минимальной. Складываемые колебания в момент сложения находились в противофазе. При  результирующая амплитуда равна нулю  .

Если  , то  , т.е. результирующая амплитуда будет максимальной. В момент сложения складываемые колебания находились в одной фазе, т.е. были синфазны. Если амплитуды складываемых колебаний одинаковы  , то  .

Для практики представляет особый интерес случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. После сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, которые возникают при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями. 

Сложение сонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами.

Частоты складываемых колебаний не равны  , но разность частот   много меньше и ω₁, и ω₂. Условие близости складываемых частот записывается соотношениями  .

Примером сложения сонаправленных колебаний с близкими частотами является движение горизонтального пружинного маятника, жесткость пружин которого немного различна k₁ и k₂.

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы , а начальные фазы равны нулю  . Тогда уравнения складываемых колебаний имеют вид:

,  .

Результирующее колебание описывается уравнением:

.

Получившееся уравнение колебаний зависит от произведения двух гармонических функций: одна – с частотой  , другая – с частотой  , где ω близка к частотам складываемых колебаний (ω₁ или ω₂). Результирующее колебание можно рассматривать какгармоническое колебание с изменяющейся по гармоническому закону амплитудой. Такой колебательный процесс называется биениями. Строго говоря, результирующее колебание в общем случае не является гармоническим колебанием.

Абсолютное значение косинуса взято потому, что амплитуда – величина положительная. Характер зависимости х_рез.при биениях показан на Рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Зависимость смещения от времени при биениях.

Амплитуда биений медленно меняется с частотой  . Абсолютное значение косинуса повторяется, если его аргумент изменяется на π, значит и значение результирующей амплитуды повторится через промежуток времени τ_б, называемый периодом биений (см. Рисунок 12). Величину периода биений можно определить из следующего соотношения:

.

Величина   - период биений.

Величина   есть период результирующего колебания

Билет 18) Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

1 . Модель, на которой можно продемонстрировать сложение взаимно перпендикулярных колебаний, представлена на Рисунке 2.3. Маятник (материальная точка массой m) может совершать колебания по осям ОХ ОУ под действием двух сил упругости, направленных взаимно перпендикулярно.

Рисунок 2.3

Складываемые колебания имеют вид:

.

Частоты колебаний определяются как  ,  , где  ,   -коэффициенты жесткости пружин.

2. Рассмотрим случай сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами  , что соответствует условию  (одинаковые пружины). Тогда уравнения складываемых колебаний примут вид:

Когда точка участвует одновременно в двух движениях, ее траектория может быть различной и достаточно сложной. Уравнение траектории результирующего колебаний на плоскости ОХУ при сложении двух взаимно перпендикулярных с равными частотами можно определить, исключив из исходных уравнений для х и y время t:

.

Вид траектории определяется разностью начальных фаз складываемых колебаний, которые зависят от начальных условий (см. § 1.1.2). Рассмотрим возможные варианты.

а) Если  , где n = 0, 1, 2…, т.е. складываемые колебания синфазные, то уравнение траектории примет вид:

(Рисунок 2.3 а).

б) Если   (n = 0, 1, 2 …), т.е. складываемые колебаний находятся в противофазе, то уравнение траектории записывается так:

 (Рисунок 2.3б).

Рисунок 2.3.а

Рисунок 2.3 б

В обоих случаях ( а, б) результирующее движение точки будет колебание по прямой, проходящей через точку О. Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний ω₀, амплитуда определяется соотношением:

.

Угол, который прямая (траектория) составляет с осью ОХ, можно найти из уравнения:

 (знак "плюс" – случай а, знак "минус" – случай б).

Результатом сложения взаимно перпендикулярных колебаний (случай а и б) является колебание, которое называется линейно поляризованным.

в) Если   (n = 0, 1, 2 …), то уравнение траектории результирующего движения примет вид:

.

Это уравнение эллипса, его оси совпадают с осями координат ОХ и ОУ, а размеры его полуосей равны   и  см. рисунок

Точка в результате участия в двух взаимно перпендикулярных колебаниях описывает эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний  .