Тема 5. Потенциал точечного источника и стока на плоскости в пространстве. Метод суперпозиции
Разработка нефтяных и газовых месторождений осуществляется не единичными скважинами. Для обеспечения необходимого уровня добычи жидкости или газа нужно определенное количество скважин. Сумма дебитов этих скважин должна обеспечить заданный отбор из месторождения. Поэтому в фильтрационных расчетах, связанных с разработкой месторождений, необходимо рассматривать множество скважин, размещенных определенным образом на площади нефтегазоносности, в зависимости от параметров пластов и свойств насыщающих их флюидов. При этом возникают гидродинамические задачи определения давлений на забоях скважин при заданных дебитах или определения дебитов скважин при заданных из технических или технологических соображений забойных давлений.
При решении этих задач нужно учитывать, что при работе скважин наблюдается их взаимное влияние друг на друга – интерференция скважин. Это влияние выражается в том, что при вводе в эксплуатацию новых скважин суммарная добыча из месторождения растет медленнее, чем число скважин.
Точечным стоком называют точку на плоскости, поглощающую жидкость. Сток можно рассматривать как гидродинамически совершенную скважину бесконечно малого радиуса в пласте единичной толщины. На плоскости вокруг точечного стока будет радиальная картина движения. Точечный источник – это точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины).
Течение называется потенциальным,
если существует такая скалярная
функция Ф, что градиент от нее равен
вектору скорости ω, т.е.
,
скалярная функция Ф – называется
потенциалом.
Потенциал течения выражается как функция, производная которой с обратным знаком вдоль линии тока равна скорости фильтрации, т.е.
Т.к. k и μ постоянные, то
(5.1)
сравнив с законом Дарси видно, что потенциал для несжимаемой жидкости связан с давлением формулой:
(5.2)
Поэтому фильтрационные течения в недеформируемых пластах (k = const) жидкостей с постоянной вязкостью потенциальны.
Метод суперпозиции
Назовем точечным стоком на плоскости точку, которая поглощает жидкость (Ф < 0). В качестве стока можно рассматривать добывающую скважину считая, что ее диаметр бесконечно мал. На плоскости вокруг точечного стока лини тока будут представлять собой прямые линии, направленные к скважине, а линии равного потенциала будут окружности (рис. 5.1., а). Нагнетательная скважина (Ф > 0), из которой жидкость попадает в пласт, представляет собой источник (рис. б)
Рис. 5.1. Источник и сток на плоскости. /Басниев, стр. 148/
Найдем потенциал добывающей скважины (стока). Для этого спроектируем уравнение (5.1) на цилиндрическую систему координат. В результате получим
(5.3)
В добывающей скважине скорость направлена к полюсу полярной системы координат и при проектировании её на ось or появляется знак минус, поэтому в равенстве (5.3) знак минус отсутствует.
Введем удельный дебит q на единицу толщины пласта q=Q/h и выразим его через скорость фильтрации
Следовательно, равенство (5.3) можно
переписать в виде
Разделим переменные
и
проинтегрируем. В результате получим
(5.4)
где С – постоянная интегрирования.
Потенциал в окрестности скважины –
стока пропорционален логарифму расстояния
r от стока (центра скважины). При
и
функция
обращается
в бесконечность, поэтому потенциал в
этих точках теряет смысл.
Аналогичные рассуждения можно повторить для случая, когда на плоскости находится источник (нагнетательная скважина)
(5.5)
Потенциал точечного стока в пространстве, движение вблизи такого стока будет радиально-сферическим. Поэтому скорость фильтрации
Откуда
,
и потенциал точечного стока в пространстве
.
(5.5*)
Для потенциала точечного источника знак дебита в формуле (5.5) меняется на противоположный.
Уравнению Лапласа удовлетворяет не только давление, но и введенные равенствами (5.4), (5.5) потенциалы:
(5.6)
Поскольку уравнение Лапласа линейное и однородное, его решения обладают следующими свойствами: сумма частных решений и произведение частного решения на произвольную постоянную есть также решение этого уравнения. На основании этих свойств в подземной гидромеханике разработан метод решения сложных задач, названный методом суперпозиции (методом наложения решений).
Математический смысл метода суперпозиции
заключается в том, что если имеется
несколько фильтрационных потоков с
потенциалами
,
где i = 1, 2… N
каждый из которых удовлетворяет
уравнению Лапласа, но комбинация этих
потенциалов
также
удовлетворяет уравнению Лапласа (5.6).
(где сi – произвольные постоянные)
Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменение пластового давления и потенциала в любой точке пласта, вызванное работой каждой скважины (нагнетательной или добывающей), подсчитывается так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, совершенно независимо от других скважин; затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления и потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются. Суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины, по правилам сложения векторов.
Пусть на неограниченной плоскости расположено n источников и стоков. Потенциал каждого из них в точке М определяется по формуле (5.4):
;
,
где
- расстояния от первого, второго, …. n
– го стоков до точки М;
- постоянные.
Каждая из функций
удовлетворяет уравнению Лапласа. Тогда
сумма потенциалов
,
(5.7)
также удовлетворяют уравнению Лапласа.
Физически это означает, что фильтрационные
потоки от работы каждого источника или
стока накладываются друг на друга. В
этом и заключается принцип суперпозиции,
или сложения течений.
Вектор скорости фильтрации ω в точке М равен сумме скоростей фильтрации в каждой скважине, если бы на пласте работала только она одна (рис. 5.2, б):
,
(5.8)
где модуль вектора скорости равен
Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу той или иной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах приходится вводить фиктивные скважины-стоки или скважины-источники за пределами пласта. Фиктивные скважины в совокупности с реальными обеспечивают необходимые условия на границах. При этом задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Этот метод называется методом отображения источников и стоков.
Рассмотрим использование методов суперпозиции и отображения источников и стоков на некоторых задачах, имеющих практическое значение в теории разработки нефтяных и газовых месторождений.