2.3.3. Начальные и граничные условия
Продуктивный пласт или выделенную из него часть можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями-границами. Границы могут быть непроницаемыми для флюидов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхностью является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины служит внутренней границей пласта.
Чтобы получить решение системы уравнений, к ним необходимо добавить начальные и граничные условия.
Начальное условие заключается в задании искомой функции во всей области в некоторый момент времени, принимаемый за начальный. Например, если искомой функцией является пластовое давление, то начальное условие может иметь вид
(2.36)
т.е. в начальный момент задается распределение давления во всём пласте.
Если в начальный момент пласт невозмущен, то начальное условие примет вид /без учета силы тяжести/
(2.37)
Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Возможны следующие граничные условия.
I. На внешней границе Г:
1) постоянное давление
(2.38)
т.е. граница является контуром питания;
2) постоянный переток через границу при
выполнении закона Дарси
где n - нормаль к границе
Г.
Откуда следует, что
(2.39)
3) переменный переток через границу
(2.40)
4) замкнутая внешняя граница
(2.41)
5) бесконечный по простиранию пласт при прямолинейно-параллельной фильтрации
(2.42)
II. На внутренней границе (при плоскорадиальной фильтрации):
6) постоянное давление на забое скважины радиусом re
при
r = re
(2.43)
7) переменное давление на забое скважины радиусом re
при r = re
(2.44)
8) постоянный дебит при выполнении закона Дарси
при r = re (2.45)
Или
при r = re (2.36)
где
- площадь боковой поверхности скважины;
h – толщина пласта;
9) переменный дебит
при
r = re (2.37)
10) отключение скважины
при r = re
(2.38)
Контрольные вопросы и задачи
1. Запишите уравнение неразрывности в общем случае, а также для фильтрации несжимаемой жидкости в недеформируемой пористой среде.
Каков физический смысл уравнения неразрывности?
2. Запишите полную систему дифференциальных уравнений для решения задачи о фильтрации несжимаемой жидкости по линейному закону в недеформируемом пласте.
3. Во сколько раз изменится плотность упругой жидкости и совершенного газа при изменении давления в 100 раз, от атмосферного (pат = 0,1 МПа) до р = 10 МПа? Принять βж = 10-8 Па-1 .
4. Какая функция называется функцией Лейбензона?
5. Какой вид примет функция Лейбензона для сжимаемой жидкости
6. Какой вид примет функция Лейбензона для реального газа, если к = const, μ = const, а коэффициент сверхсжимаемости z зависит от давления линейно?
7. Как запишется дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации однородного флюида при к = cosnt, μ = const? Какой вид примет это уравнение в случае установившейся фильтрации?
8. Как запишется дифференциальное уравнение установившейся фильтрации совершенного газа относительно давления (к = const, μ = const)?
9. Какие граничные условия для давления должны быть поставлены на внешней и внутренней границах нефтяного пласта, в котором работает одна скважина радиусом при re, если дебит скважины постоянный, а внешняя граница служит контуром питания?