2.2. Закон сохранения количества движения (импульса) (вывод по н.Е. Жуковскому)

Уравнение движения идеальной жидкости Эйлера для одномерного течения имеет вид

,

где υ – истинная средняя скорость движения,

f – проекция плотности объемных (массовых) сил на направление движения:

,

где f₁ – проекция силы тяжести, которая для горизонтального потока = 0 и , если ось потока наклонена к горизонту под углом α,

f₂ – проекция объемной силы трения, обусловленная течением в пористой среде.

Если среда изотропная и просветность является константой, то можно перейти от истинной средней скорости к скорости фильтрации:

Положим, что изменение скорости по времени мало, тогда и им можно пренебречь. Второе слагаемое в левой части, представляющий инерционный член, при малой скорости фильтрации (при выполнении закона Дарси) тоже оказывается очень мало, что им можно пренебречь. Тогда

(2.5)

Выражение (2.5) закон сохранения количества движения (импульса)

Считая, что сила вязкого трения пропорциональна скорости фильтрации в первой степени ρωλ, получим выражение

.

Если положить, что получим закон Дарси – дифференциальное уравнение движения флюида.

2.3. Замыкающие уравнения. Математические модели изотермической фильтрации

Законы сохранения

Для изотропной среды , . (2.6)

Для анизотропной пористой среды , (2.8)

Для замыкания системы необходимо, что бы число неизвестных соответствовало числу уравнений. Поэтому к законам сохранения добавляют еще уравнения, задающие (определяющие) свойства жидкости или среды. Такие уравнения называют определяющими.

Рассмотрим некоторые возможные варианты задания определяющих уравнений и соответствующие математические модели.

2.3.1. Модели однофазной фильтрации по закону Дарси в недеформируемом пласте

Наиболее простая модель изотермической фильтрации получается, когда жидкость считается несжимаемой, вязкость постоянной, пласт недеформируемым. В этом случае определяющие уравнения задаются следующими равенствами:

, , , (2.9)

и замкнутая система уравнений для фильтрации в изотропном пласте имеет вид

, (2.10)

Система уравнений (2.10) содержит 4 неизвестных функции – три компоненты вектора скорости и давление. Плотность перестает быть искомой функцией, она задается.

Система (2.10) может быть преобразована. Для упрощения рассуждений пренебрежем массовыми силами и подставим закон Дарси в уравнение неразрывности.

или ,

где Δ – оператор Лапласа.

Следовательно, систему (2.10) можно представить

, . (2.11)

Замкнутые системы (2.10) и (2.11) определяют и задают математическую модель фильтрации вязкой несжимаемой жидкости в недеформируемой изотропной пористой среде.

Системы уравнений математической модели фильтрации вязкой несжимаемой жидкости в недеформируемой анизотропной среде выглядят аналогично и получаются заменой в системах (2.10, 2.11) закона Дарси для изотропных сред на закон Дарси для анизотропных сред.

Проектируя (2.10, 2.11) на декартову систему координат получают

Для уравнений (2.10)

, , , (2.12)

Для уравнений (2.11)

, , , (2.13)