- •Тема 2. Математические модели однофазной фильтрации
- •2.1. Закон сохранения массы.
- •2.2. Закон сохранения количества движения (импульса) (вывод по н.Е. Жуковскому)
- •2.3. Замыкающие уравнения. Математические модели изотермической фильтрации
- •2.3.1. Модели однофазной фильтрации по закону Дарси в недеформируемом пласте
- •2.3.2. Вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации однородного флюида по закону Дарси. Функция л. С. Лейбензона.
- •2.3.2 Зависимость параметров флюидов и пористой среды от давления
- •2.3.3. Начальные и граничные условия
- •Тема 3. Одномерная установившаяся фильтрация несжимаемой жидкости и газа в пористой среде
- •3.1. Схемы одномерных фильтрационных потоков
- •3.2. Характеристики одномерных фильтрационных потоков жидкости и газов
- •Прямолинейно – параллельная фильтрация несжимаемой жидкости
- •П лоскорадиальная фильтрация несжимаемой жидкости
- •Радиально – сферическая фильтрация несжимаемой жидкости
- •3.3. Анализ одномерных потоков несжимаемой жидкости и газа
- •Прямолинейно – параллельный поток несжимаемой жидкости и совершенного газа
- •Плоскорадиальный фильтрационный поток
- •Радиально – сферический фильтрационный поток несжимаемой жидкости и совершенного газа
- •3.4. Фильтрационное плоскорадиальное течение реального газа по закону Дарси
- •3.5. Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидкости и газа по двучленному закону фильтрации
- •3.6. Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидкости и газа по степенному закону фильтрации
- •3.7. Одномерные фильтрационные потоки несжимаемой жидкости и газа в неоднородных пластах по закону Дарси
- •3.7.1. Прямолинейно – параллельный поток в неоднородных пластах
- •3 .7.2. Плоскорадиальный поток в неоднородных пластах
Тема 2. Математические модели однофазной фильтрации
Для описания реальных физических процессов используются различные уравнения и методы описания. В качестве наиболее используемого и разработанного метода описания физических процессов в подземной гидромеханике применяется макроскопический метод, в основе которого лежит гипотеза сплошности, законы и методы механики сплошной среды.
В механике сплошных сред основными законами сохранения являются законы сохранения массы, изменения количества движения, изменения момента количества движения, энергии и баланса энтропии.
Однако законы сохранения выполняются для всех сплошных сред, а свойства сплошных сред могут быть различны. Поэтому для получения замкнутой системы уравнений кроме законов сохранения, описывающих физические процессы, добавляют определяющие уравнения и законы, которые задают особенности поведения.
В результате объединения законов сохранения и определяющих уравнений получается замкнутая система уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных функций и которая определяет и задает математическую модель сплошной среды, описывающую конкретные физические процессы.
Для получения решения различных задач и описания конкретных физических процессов необходимо сделать постановку задачи, т.е. задать условия в начальный момент времени и условия на границах области пласта.
В результате имеем дифференциальные уравнения с начальными и граничными условиями, интегрируя которые можно определить распределение давления и скорости фильтрации по пласту в любой момент времени, т.е.
р = р(х, у, z, t), ωx = ωx (x, у, z, t), ωy = ωy (x, у, z, t), ωz = ωz (x, y, z, t).
Если рассматривается однородная несжимаемая жидкость (ρ = const) в недеформируемой пористой среде (m = const, k = const), то число искомых функций ограничивается только этими четырьмя функциями (р, ωx, ωy, ωz);
для фильтрации сжимаемого флюида в сжимаемой пористой среде кроме упомянутых функций нужно определить плотность ρ;
для более сложных процессов в число неизвестных функций включают вязкость μ, пористость m, проницаемость k. В этом случае нужно иметь восемь уравнений – дифференциальных и конечных - для определения восьми характеристик фильтрационного потока, жидкости и пористой среды.
Для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров вследствие значительных величин удельной поверхности коллекторов и их теплоёмкости. Т.к. фильтрация представляет собой очень медленный процесс, то изменение температуры, возникающей в ходе движения, наличие сопротивления стенок поровых каналов и трещин, расширение флюида при уменьшении давления, успевает компенсироваться теплообменом с окружающими горными породами. Для таких изотермических процессов уравнение энергии рассматривать уже не нужно и ограничиватся уравнениями баланса массы (неразрывности) и движения.
Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны из-за значительных перепадов давления, проявления дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефте-газоотдачи.
Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений удается получить лишь в ограниченном числе простейших очень сильно идеализированных случаев, например в задаче о притоке упругой жидкости к скважине в пласте бесконечной протяженности с постоянным дебитом. В более сложных случаях система уравнений решается численными методами с применением ЭВМ.