1.3. Скорость фильтрации, Линейный закон Дарси. /ввести нумерацию формул/

В теории фильтрации движение жидкости или газа через пористую среду рассматривается не с точки зрения движения потоков по отдельным извилистым микроскопическим каналам, а распространяют расход жидкости или газа на всю поперечную площадь пористой среды. Эта фиктивная скорость называется скоростью фильтрации. Истинные скорости движения в отдельных каналах могут значительно превышать скорость фильтрации. В связи с этим все законы фильтрации, устанавливающие связь между скоростью фильтрации, градиентом давления и параметрами пористой среды и жидкости, носят статический характер.

При изучении фильтрационного потока удобно отойти от размеров пор и их формы, допустив, что жидкость движется сплошной массой, заполняя весь объем пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.

Основной характеристикой фильтрационного движения служит вектор скорости фильтрации ω, который определяется следующим образом. Выберем произвольную точку М пористого пласта, через который фильтруется жидкость, и выделим в нем элементарную площадку S_m (рис. 1.4). Через выделенную площадку в единицу времени протекает масса жидкости ΔQ_m (элементарный массовый расход).

Скорость фильтрации в пределах площадки можно выразить в виде

. (3)

Скорость фильтрации в данной точке пласта , (4)

где - объемный расход жидкости в фильтрационном потоке в единицу времени через площадку полного живого сечения пласта (мысленно предполагается, что жидкость движется по всему сечению пласта, т.е. при отсутствии самой породы).

Величина ω имеет размерность скорости (м/с в СИ) и обладает свойствами вектора. Скорость фильтрации можно рассматривать как вектор. Если в данной точке области фильтрации вращать элементарную площадку и восстанавливать нормали, соответствующие наибольшему расходу, то нормаль и будет направлением вектора скорости фильтрации.

Массовый расход в выражении (3, 4) делится на полную площадь ΔS, а не на ее часть, занятую порами. Поэтому, очевидно, что скорость фильтрации не является действительной средней скоростью движения в живом сечении фильтрационного потока.

Установлена связь между скоростью фильтрации и средней скоростью движения жидкости в порах

, (5)

где - коэффициент пористости, u - средняя скорость движения жидкости в порах.

Поскольку 0 < m < 1, то скорость фильтрации ω меньше действительной средней скорости u течения флюида.

Таким образом, при введении скорости фильтрации ω рассматривается некоторый фиктивный фильтрационный поток, в котором расходы через любое сечение равны реальному расходу флюида, поля давлений фиктивного и реального потока идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной силе сопротивления. При этом принимается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объему и связана со средней скоростью действительного движения равенством (5).

Основное соотношение теории фильтрации - закон фильтрации устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное течение. Первые экспериментальные наблюдения за движением

воды в трубах, заполненных песком, провели французские инженеры А. Дарси и Ж. Дюпюи (1856 г.). Этими работами было положено начало теории фильтрации. Именем Дарси назван основной закон фильтрации – закон Дарси (или линейный закон фильтрации). Дарси создал первую совершенную систему водоснабжения в Европе.

Анри Дарси исследовал течение воды через вертикальные песчаные фильтры, что требовалось для нужд водоснабжения г. Дижона. В результате тщательно проведенных экспериментов он установил получившую широкую известность экспериментальную формулу

⁽⁶⁾

где Q – объемный расход жидкости через песчаный фильтр, длина которого L, площадь сечения S, ΔН = Н₁ – Н₂ – разность гидравлических напоров воды над фильтром и у его основания, k_ф – коэффициент пропорциональности.

Коэффициент пропорциональности в выражении (6) еще называют коэффициент фильтрации (первоначально коэффициент водопроницаемости). Коэффициент фильтрации зависит от свойств пористой среды и свойств фильтрующейся жидкости. Наибольшее влияние на этот коэффициент оказывают размеры частиц породы. Величина этого коэффициента также зависит от формы частиц, степени шероховатости их поверхности, пористости среды, вязкости жидкости.

Скорости фильтрации очень малы (порядка 10^-4 – 10^-5 м/с и менее), поэтому скоростными напорами при вычислении гидравлических напоров в выражении (6) пренебрегают:

(7)

В выражении (7) используются обозначения гидромеханики: υ_α – средние скорости в капилляре, α_i – коэффициенты Кориолиса (в нашем случае α₁ = α₂ = 2), р – давление, z – геометрический напор, ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.

Коэффициент фильтрации, имеет размерность скорости и характеризует скорость потока через единицу площади сечения, перпендикулярного потоку, под действием единичного градиента напора.

При исследовании фильтрации газа, нефти и их смесей необходимо разделить влияние свойств пористой среды и флюида. Поэтому для разделения свойств флюида и пористой среды равенство (6) представляют в виде:

⁽⁸⁾

^{или (9)}

где μ – динамический коэффициент вязкости,

- приведенное давление,

k – коэффициент проницаемости, который не зависит от свойств жидкости и является динамической характеристикой только пористой среды, м². Проницаемость крупнозернистых песчаников 10^-12 – 10^-13 м² (1 – 0,1 мкм²), проницаемость плотных песчаников 10^-14 м² (0,01 мкм²). Из-за малости этих величин в нефтепромысловой практике получила размерность 1 Д (Дарси) = 1,02·10^-12 м².

Коэффициент фильтрации и проницаемости определяются экспериментально (рис. 1.4) и могут быть связаны между собой соотношением:

(10)

Равенства (8, 9) справедливы, если фильтрационные свойства недеформируемой пористой среды изотропные и однородные, т.е. проницаемость не зависит от направления и постоянна для всех точек.

Из формул (6, 8) имеем или ^,

где перепад напора, приходящийся на единицу длины (модуль градиента давления) можно представить в следующем виде

.

Пермеаметр содержит образец исследуемого грунта, общий расход Q фильтрационного потока поддерживается постоянным, напоры Н₁ и Н₂ измеряют двумя пьезометрами, соединенными с пористой средой в сечениях 1 и 2.

Обычно соотношения (6) или (9) называют следствием закона Дарси.

Этот закон является хронологически первым законом теории фильтрации. Закон Дарси можно записать в виде

,

где - коэффициент фильтрации, имеющий размерность скорости;

- гидравлический уклон (или градиент давления).

Закон Дарси связывает меду собой вектор скорости и градиент фильтрационного давления.

Если обе части равенства (9) разделить на площадь сечения, то получим

, (11)

выражение имеет размерности скорости, и определяет модуль вектора скорости фильтрации. При определении расхода считается, что вектор скорости фильтрации направлен перпендикулярно плоскости (галерее), через которую фильтруется флюид. Скорость фильтрации – это фиктивная скорость, т.к. она определяется в любой точке сечения пористой среды – и в порах, и в твердом скелете, а на самом деле течение проходит только по поровым каналам с некоторой истинной скоростью υ. Между фиктивной и истинной скоростью существует взаимосвязь:

или (12)

Таким образом, скорость фильтрации равна истинной средней скорости, умноженной на просветность. Заменять просветность на пористость теоретически неправомерно.

Равенство (11) можно представить в векторной форме. В случае изотропных фильтрационных свойств векторы скорости фильтрации и градиент фильтрационного давления лежат на одной прямой. Поэтому, если умножить равенство (11) на орт , задающий направление фильтрации, получим

(13)

В равенстве (13) множитель представляет собой модуль приведенного давления при линейном законе распределения давления. Тогда можно записать

(14)

Векторное уравнение (14) представляет собой закон Дарси для изотропной пористой среды.

Знак «минус» в правой части равенства появляется из-за того, что скорость фильтрации направлена в сторону уменьшения приведенного давления. Поэтому векторы скорости фильтрации и градиента фильтрационного давления направлены в разные стороны (градиент давления направлен в сторону роста давления, а скорость фильтрации в обратную сторону – от большего давления к меньшему).

Равенство (14) задает закон Дарси в универсальной безындексной форме записи, справедливой для любой системы координат. В декартовой системе координат равенство записывается в виде

, (15)

где - орты декартовой системы координат (ось z направлена вертикально вверх).

Это равенство можно спроектировать на оси координат

, ^{, . (16)}

Таким образом, закон Дарси заключается в том, что скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления.

Закон Дарси имеет силу, если соблюдаются следующие условия:

1) мелкозернистая пористая среда или достаточно узкие поровые каналы;

2) малая скорость фильтрации при небольшом градиенте давления;

3) незначительные изменения скорости фильтрации или градиента давления.

Закон Дарси справедлив для медленных фильтрационных движений, для которых силы инерции несущественны. Поэтому для таких движений несущественна плотность жидкости, определяющая свойство ее инерции.

Закон Дарси, в дифференциальной форме он имеет вид:

, (17)

где - градиент давления (сил трения), ω – скорость фильтрации,  - коэффициент динамической вязкости, k – коэффициент проницаемости.

Знак (-) в левой части формулы (17) означает, что течение газа происходит в направлении, противоположном росту давления.

Фундаментальный закон фильтрации (17) устанавливает связь между скоростью фильтрации и градиентом давления.