9. Формула множення ймовірностей для залежних та незалежних подій.

Для встановленні незалежності подій А і В, слід переконатися в рівності Р(В/А) = Р(В), Р(А/В) = Р(А), Р(АВ) = Р(А)*Р(В).

Формула знаходження ймовірності n незалежних випадкових подій А₁, А₂, …, А_n.

Р = Р (А₁) Р(А₂ / А₁) Р(А₃ / А₁А₂) … Р(А_n / А₁А₂ … А_n–1).

10. Формула для обчислення появи хоча б однієї події .

Нехай події А₁, А₂, …, А_n – незалежні у сукупності, при чому ймовірність Р(А₁) = р₁, Р(А₂) = р₂, … Р(А_n) = р_n. q₁ = 1-p₁, q₂ = 1-p₂, … q_n = 1-p_n.

q_1, q_{2, …} q_n – ймовірність появи події, протилежні подіям А₁, А₂, …, А_n.

Нехай в результаті досвіду можуть наступити всі події, або частина, або жодна з них. Ймовірність настання події А, яка полягає в настанні хоча б одної з подій А_і дорівнює різниці між 1 і добутком ймовірність протилежних подій А_і. Р(А) = 1- q₁* q₂*… q_n. Зокрема, якщо всі n подій мають однакову ймовірність р_і, то ймовірність Р(А) = 1-qⁿ.

11. Формула повної ймовірності.

У разі, коли випадкова подія А може відбутися лише за умови, що відбудеться одна з несумісних випадкових подій В_і, які утворюють повну групу і між собою є попарно несумісними, імовірність події А обчислюється за формулою , яка називається формулою повної ймовірності. Випадкові події В₁, В₂, ... В_n називають гіпотезами. Р (А) = Р (В₁) Р (А / В₁) + Р (В₂) Р (А / В₂) + … + Р (В_n) Р (А / В_n).

12. Формули Байєса.

Ймовірність настання В_і при умові, що А відбулася дорівнює . Формула застосовується для переоцінювання гіпотез В_і за умови, що випадкова подія А здійсниться.

13. Означення експерименту за схемою Бернуллі.

Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями p і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. Позначають В (n; p), де n і p –параметри у схемі Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імо­вірністю p відбувається, а з імовірністю q — не відбувається, тобто p + q = 1.

Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві елементарні події, а для n експериментів за схемою Бернуллі —2ⁿ елементарних подій.

Ймовірність настання події В дорівнює добутку ймовірностей настання події А.

P(B) = p^m*(1-p)^n-m = p^m * q^n-m

14. Формула Бернуллі для обчислення ймовірностей, умова використання. Наслідки.

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з’явиться m раз, подається у вигляді

.

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від m_і до m_j раз, обчислюється так:

.

Оскільки

,

дістанемо

;

.

15. Найімовірніше число появ події в схемі Бернуллі.

Найімовірнішим числом появи випадкової події А в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі називається таке чис­ло m0, для якого ймовірність Р_n (m₀) перевищує або в усякому разі є не меншою за ймовірність кожного з решти можливих наслідків експериментів. . Число m₀ називають також модою.