56. Нерівності Чебишева та їх значення.

Ймовірність, яка приймає невід’ємні значення та має скінчене математичне сподівання, ця нерівність має вигляд:

P(х ≥ 1) ≤ М(х)

Якщо ԑ > 0, М(х) < ∞, то нерівність має вигляд P(х ≥ 1) ≤ - нерівність Маркова.

Якщо випадкова величина Х має обмежені М (Х); D (Х), то ймовір­ність відхилення цієї величини від свого математичного сподівання, взятого за абсолютною величиною  ( > 0), не перевищуватиме величини: .

.

57. Теорема Чебишева.

Нехай х₁, х₂, …х_n – випадкові величини, послідовні, попарно незалежні, які задовольняють умови: М(х_і) = а_і, D(х) ≤ с, і = 1, 2, …n.

.

58. Теорема Бернуллі.

Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то при необмеженому збільшенні числа експериментів n   імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р, взятої за абсолютною величиною на  ( > 0) прямуватиме до одиниці зі зростанням n, що можна записати так:

Числові характеристики Х_і: M(X_i) = p; D(X_i) = M(X²_i) – M²(X_i) = p – p² = p(1 – p) = pq.

Нерівність Чебишова для теореми Бернуллі матиме такий вигляд: ,

59. Центральна гранична теорема теорії ймовірностей ( теорема Ляпунова) та її використання у математичній статистиці.

Теорема. Нехай задано n незалежних випадкових величин Х₁, Х₂, … Х_n, кожна із яких має один і той самий закон розподілу ймовірностей із M(Х_i) = 0,  (Х) =  і при цьому існує за абсолютною величиною початковий момент третього порядку , тоді зі зростанням числа n закон розподілу наближатиметься до нормального.

.

Таким чином, доведено, що характеристична функція випадкової величини Z при n   дорівнює характеристичній функції нормованого нормального закону, а звідси випливає, що Z і пов’язана лінійною залежністю величина Y наближатимуться до нормального закону розподілу.

При досить загальних умовах розподіл суми великого числа незалежних випадкових величин близький до нормального розподілу.

60. Предмет і задачі математичної статистики.

Мета кожного наукового дослідження – виявлення закономірностей явищ, які спостерігають та використання цих закономірностей у практичній діяльності. Для встановлення цих закономірностей у практичній діяльності проводять спеціальні дослідження та спостерігають одиничні явища. Далі роблять узагальнюючі висновки у вигляді закону.

Предмет математичної статистики полягає у розробці методів збору та обробки статистичних даних для одержання наукових та практичних висновків.

Задачі матем статистики:

• Вказати методи, способи збору та формування статистичних відомостей;

• Встановити закон розподілу ВВ або системи ВВ за статистичними даними;

• Визначити невідомі параметри розподілу;

• Перевірити правдоподібність припущень про закон розподілу ВВ, про форму зв’язку між ВВ.