15Экстремум функции нескольких переменных

1. Необходимые условия. Функция может иметь экстремум только в точках, в которых и . Эти точки называются критическими.

2. Достаточные условия. Обозначим через A, C и B значения производных ; и в критической точке . Тогда, если

1. , то при в точке функция имеет максимум, а при - минимум;

2. , то экстремума нет;

3. - требуется дополнительное исследование.

Пример. Найти экстремум функции .

; .

Чтобы найти критические точки решим систему уравнений: ;

; , т.е. критическая точка .

Находим вторые частные производные:

; ; ;

; ; ;

; , следовательно, в точке функция имеет минимум.

Вычислим значение функции в точке минимума: .

Задание n 33

Найти экстремум:

1)	8)	15)
2)	9)	16)
3)	10)	17)
4)	11)	18)
5)	12)	19)
6)	13)	20)
7)	14)

16Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные всех порядков до n включительно. Производная второго порядка - это производная от производной функции. Производные третьего и более высоких порядков определяются аналогично. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение ее и всех ее производных обращает уравнение в тождество. В общем случае решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных , , ..., .

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными

При решении дифференциальных уравнений производную принято обозначать , т.е. производная записывается как отношение дифференциалов. Если уравнение может быть записано в виде

,

то его можно преобразовать к виду и взять от обеих частей интегралы. Полученное при этом равенство связывает y и x и является решением данного уравнения, содержащим одну произвольную постоянную.

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

; ; ;

.

Частные решения дифференциальных уравнений 1-го порядка

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка содержит одну произвольную постоянную. Если задано начальное условие, то эта произвольная постоянная может быть определена.

Пример. , .

; ;

Þ Þ .

Частное решение имеет вид:

Задание № 34

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение с начальным условием :

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)