2. Приклади розв′зання типових задач Приклад 1

У конверті знаходяться 20 пронумерованих карток. Навмання дістають дві з них. Знайти ймовірність того, що їх номери 11 і 3.

Розв′язання:

Уведемо позначення: подія - поява карток з номерами 11 и 3 одночасно. Шукана ймовірність визначаеться за формулою (1.1.1).

;

- число елементарних подій, які сприяють події

. – загальне число усіх можливих наслідків випробування , кількість способів, якими можна з 20 елементів витягти по 2 елемента.

Приклад 2

Зроблено залп із двох гармат. Імовірність влучення в мішень із першої гармаи дорівнює , із другої - . Знайти ймовірності наступних подій: а) ціль уражена тільки однією гарматою;

б) ціль не уражена.

Розв′язання:

а) Уведемо позначення: подія - ціль уражена тільки однією гарматою: першою, тоді друга не влучила - подія або другою, тоді перша не влучила - подія . Використовуючи формули (1.1.2, 1.1.5) маємо:

, ;

.

б) Уведемо позначення: подія - ціль не уражена, тобто і перша і друга гармати не влучили вціль. Використовуючи формулу (1.1.5) розраховуємо:

.

Приклад 3

Два мисливці одночасно стріляють по меті. Імовірність влучення в мету Ι-м мисливцем , ΙΙ -м - . У результаті в мету влучає тільки один мисливець. Знайти ймовірність того, що промахнувся Ι-й мисливець.

Розв′язання:

Уведемо позначення: подія - в мету влучає тільки один мисливець. Гіпотези: - Ι-й мисливець промахнувся;

- Ι-й мисливець влучів у ціль.

За формулами (1.1.6, 1.1.7) розраховуємо і :

; ;

; ;

Приклад 4

Прилад складається з 5-ти вузлів. Ймовірність вийти з ладу для будь якого вузла однакова . Знайти ймовірність безвідмовної роботи приладу, якщо для цього потрібно, щоб працювало не менше 4-х вузлів.

Розв′язання:

Уведемо позначення: подія - прилад працює безвідмовно. Для появи події потрібно, щоб безвідмовно працювало або 4 ( подія ) або 5 вузлів (подія ). За формулою (1.1.8) розраховуємо:

;

.

Приклад 5

Знайти найімовірнішу кількість ясних днів у вересні, якщо за даними багаторічних спостережень відомо, що у вересні в середньому буває 11 непогожих днів.

Розв′язання:

Задача вирішується за формулою ( ), де кількість днів у вересні , ймовірність появи ясного дня , ймовірність появи хмарного дня .

;

; .

Приклад 6

Було посаджено 400 дерев. Знайти ймовірність того, що число дерев, що прижилися, більше 350. якщо ймовірність . що окреме дерево приживеться 0,8.

Розв′язання:

За умовами задачі маємо , , , , . Задачу вирішуємо за формулою (1.1.10):

12