1.2.2. Неперервні випадкові величини

Неперервною називається випадкова величина, яка може приймати будь яке значення на інтервалі свого існування.

Задати неперервну випадкову величину можна з допомогою функції щільності ймовірностей.

(1.2.6)

Функція розподілу випадкової величини може бути визначеною через функцію щільності за формулою:

(1.2.7)

Ймовірність того, що неперервна випадкова величина буде знаходитись в інтервалі можна підрахувати за формулою:

(1.2.8)

Медіаною M_e(x) безперервної випадкової величини називається таке її значення, для якого однаково імовірно, чи виявиться випадкова величина більше або менше M_e(x)

(1.2.9)

Числові характеристики неперервних випадкових величин:

1. Математичне сподівання:

(1.2.10)

2. Дисперсія

(1.2.11)

3. Середнє квадратичне відхилення

(1.2.12)

Властивості функції щільності ймовірностей:

1. ; (1.2.13)

2. (1.2.14).

Закони розподілу випадкових величин.

Рівномірним називають закон розподілу неперервної випадкової величини, якщо її функція щільності ймовірностей є постійна величина на деякому інтервалі.

(1.2.15)

Біноміальним називають закон розподілу, коли випадкова величина набуває значень 0;1;2;…;n, а ймовірність появи кожного значення можна підрахувати за формулою

(1.2.16)

Нормальним називають закон розподілу неперервної випадкової величини, якщо її функція щільності ймовірностей має вид:

(1.2.17)

де - математичне сподівання;

- середнє квадратичне відхилення.

Для нормального закон розподілу ймовірність того, що неперервна випадкова величина буде знаходитись в інтервалі можна підрахувати за формулою:

(1.2.18)

Розподілом Пуасона називають закон розподілу із параметром , коли випадкова величина набуває значень 0;1;2;…;k, а ймовірність появи кожного значення можна підрахувати за формулою

(1.2.19)

Показниковим називають закон розподілу із параметром неперервної випадкової величини, якщо її функція щільності ймовірностей має вид:

(1.2.20)

1.3. Елементи математичної статистики

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант варіаційного ряду (спостережні значення признака X) та відповідні їм частоти (сума всіх частот дорівнює об’єму вибірки ).

			...
			...
			...

Для досліджень вибірку, яка містить більше 10 варіант, розбивають на інтервали. Кількість інтервалів підраховують за формулою:

(1.3.1)

Довжина інтервалів дорівнює:

(1.3.2)

Значення на інтервалі приймають як середнє значення інтервалу.

Емпіричною функцією розподілу називають функцію , визначаючу для кожного значення відносну частоту події :

(1.3.3)

Точковою називають статистичну оцінку, що визначається одним числом.

Незміщеною називають точкову оцінку, математичне очікування якої дорівнює оцінюваному параметру при будь-якому обсязі вибірки.

Зміщеною називають точкову оцінку, математичне очікування якої не дорівнює оцінюваному параметру.

Вибірковою середньою називається середнє арифметичне значень ознаки вибіркової сукупності

(1.3.4)

Вибірковою дисперсією називається середнє арифметичне квадратів відхилень значень від вибіркової середньої:

(1.3.5)

де - середнє арифметичне квадратів значень вибірки.

(1.3.6)

Виправлене середнє квадратичне відхилення розраховується за формулою:

(1.3.7)

Інтервальною називають оцінку, що визначається двома числами - кінцями інтервалу, що покриває оцінюваний параметр.

Довірчим називають інтервал, що із заданою надійністю покриває оцінюваний параметр.

Інтервальна оцінка математичного сподівання розраховується за формулою::

; (1.3.8)

де - обсяг вибірки;

- точність оцінки;

- значення аргументу функції Лапласа, для якого .