7. Понятие о геодезической линии,прямая геодезическая задача.

10.4.2. Планшеты в проекции Гаусса

Планшеты в проекции Гаусса составляют в крупных масштабах (от 1:50.000). Границами планшета являются километровые линии, координаты которых: X_S, X_N, У_Е, У_W пишут вдоль линий.

На рамках планшета наносят выходы километровых линий, соответствующих целому числу км.

Для прокладки курсов и пеленгов на планшетах проводят несколько истинных меридианов через 10÷15′ по долготе.

Линии курсов прокладывают, отсчитывая углы от ближайших к месту судна, меридианов, а линии пеленгов – от меридианов (ближайших) тех точек, в которых измерялись пеленги.

Для прокладки пройденных судном расстояний вблизи одной из боковых рамок строится шкала стандартных морских миль (или S переводится в км).

Направления на картах или планшетах в проекции Гаусса часто определяют относительно километровых линий.

Угол между северной частью километровой линии У = const и направлением заданной прямой – дирекционный угол α. Счет α ведется по круговой системе.

При известном дирекционном угле истинный пеленг (ИП) рассчитывается (рис. 10.6):

ИП = α + γ

(10.21)

Пример:     в точке φ = 50°35′N; λ = 66°10′E измерен α = 156,2°. ИП = ?

Решение:

1. n = (λ/6) + 1 = 12.

2. L₀ = 6n − 3° = 69°E.

3. γ = (λ − L₀) · sin φ = −131′ = −2,2°.

4. ИП = α + γ = 154,0°.

Рис. 10.6. Дирекционный угол

Применение прямоугольной системы координат упрощает решение прямой и обратной геодезических задач.

Прямая геодезическая задача – вычисление координат искомой точки (т. Е₂) по известным координатам Х₁, У₁ исходной точки (т. Е₁), дирекционному углу α и расстоянию (базе) Е₁Е₂ = Б.

(10.22)

→ знаки приращений ΔХ и ΔУ совпадают со знаками функций cosα и sinα.

Если задан ИП или азимут А_Б, то:

α = АБ − γ, (γ − для т. Е1).

(10.23)

Обратная геодезическая задача – вычисление направления и расстояния между точками по известным их координатам.

(10.24)

а

Б = (X2 − X1) · sec αT     или     Б = (Y2 − Y1) · cosec αT

(10.25)

Координаты точек должны быть даны в одной и той же координатной зоне.

Знаки        ΔX ΔY	+ +	+ −	− −	− +
Угол αT «+» к … Угол αT «–» из …	0° −	− 360°	180° −	− 180°

8. Основные понятия и определения математической картографии.

Развертыванием одной поверхности на другую при помощи изгибания называется такое преобразование первой поверхности, при котором сохраняются элементы ее внутренней геометрии, т. е. углы, площади, Гауссова кривизна поверхности, а также свойство кратчайших линий оставаться кратчайшими.

Из дифференциальной геометрии известно, что в любой точке каждой поверхности существуют два взаимно перпендикулярных главных нормальных сечения. Радиус кривизны одного из этих се­чений наибольший, а другого — наименьший по сравнению с радиу­сами кривизны всех прочих нормальных сечений, проходящих через ту же точку.

Радиусы кривизны главных нормальных сечений называются главными радиусами кривизны в данной точке поверхности.

Гауссова кривизна, или мера кривизны, поверхности в данной точке определяется выражением: k=1/R1*R2

где R1, R2— главные радиусы кривизны.

При изгибании поверхности произведение R₁ R₂ остается постоян­ным, хотя сами главные радиусы кривизны изменяются. Так как радиус прямой на плоскости R = бесконечности, то Гауссова кривизна пло­скости k — 1/бесконечность² = 0.Гауссова кривизна цилиндра и конуса равна k = l/R*бесконечность = О, следовательно, цилиндр и конус можно развернуть на плоскость.

Гауссова кривизна шара— величина постоянная, сле­довательно, шар нельзя развернуть на плоскость.

Гауссова кривизна сфероида величина перемен­ная, зависящая от широты, поэтому сфероид не развертывается ни на шар, ни на плоскость.

Невозможность развертывания шара и сфероида на плоскость можно доказать и так. Вообразим на поверхности шара сферический треугольник А₀В₀С₀, стороны которого образованы дугами боль­ших кругов, т. е. кратчайшими линиями. Предположим, что шар можно развернуть на плоскость с сохранением элементов внутрен­ней геометрии. В таком случае кратчайшие линии останутся крат­чайшими, т. е. стороны плоского треугольника АВС будут прямыми линиями, а углы его будут равны углам сферического треугольника.

Но сумма углов плоского треугольника А + В + С — 180°, а сферического — А₀ + В₀ + С₀= 180° + сферический избыток. Следовательно, наше предположение о возможности развернуть шар на плоскость было ошибочным.

Изобразить шар или сфероид на плоскости можно различными способами:

сохранить углы, но тогда кратчайшие линии на шаре или сфе­роиде уже не будут прямыми на плоскости, а масштаб площадей не будет постоянным;

сохранить постоянство масштаба площадей, но тогда исказятся углы и кратчайшие линии не будут прямыми на плоскости;

сохранить кратчайшие линии кратчайшими, но тогда будут ис­кажены и углы, и площади.

Придерживаясь терминологии В. В. Каврайского, свойство изображать кратчайшие линии кратчайшими будем называть ортодромичностью.

Географической картой называется уменьшенное, обобщенное изображение земной поверхности на плоскости, полученное по оп­ределенному математическому закону. На основании сказанного ра­нее о невозможности развернуть шар или сфероид на плоскость ис­кажения изображений на географической карте неизбежны.

Планом называется такое изображение земной поверхности на плоскости, искажения которого не выходят за пределы графической точности, т. е. не превосходят 0,2 мм. В пределах этой точности на плане сохраняются углы, площади и свойство ортодромичности.

Картографической проекцией называется математический закон, осуществляющий связь между положением точки на земной поверх­ности и положением изображения этой точки на карте. Если хоу — система картографических прямоугольных координат, то выражения x=f₁(φ,λ); у=f₂(φ, λ) представляют собой уравнения картографической проекции, где φ и λ — координаты точек на земной поверхности.

Вид функций f₁ и f₂ может быть произвольным, но на функции накладываются два ограничения, действующих, во всяком случае, в той части карты, которая предназначается для практического при­менения:

изображение должно быть однозначным, т. е. точка М₀ на зем­ной поверхности должна изображаться одной и только одной точ­кой М на плоскости проекции;

изображение должно быть непрерывным, т. е. непрерывному пе­ремещению точки М₀ по земной поверхности должно отвечать непре­рывное перемещение ее изображения на плоскости проекции.

Зная вид функций f₁ и f₂, можно построить на плоскости проек­ции сетку меридианов и параллелей. Для этого задаются круглыми значениями φ и λ, например через 2 или 5°, и вычисляют соответст­вующие значения картографических координат хну точек пересе­чения меридианов и параллелей. Нанеся эти точки на бумагу, со­единяют их плавными линиями и получают картографическую сетку меридианов и параллелей.

Решив совместно систему уравнений, можно привести их к виду φ = F₁ (х, у); λ= F₂ (х, у) и тем самым получить уравнения мери­дианов и параллелей.