Раздел VII. Квантовая механика. Электронная теория

МЕТАЛЛОВ. ПОЛУПРОВОДНИКИ. РАДИОАКТИВНОСТЬ

Основные формулы для решения задач

Квантовая механика.

1. Соотношение неопределенностей:

а) для координаты и импульса

,

где - неопределенность проекции импульса на ось x; - неопределенность координаты;

б) для энергии и времени

,

где - неопределенность энергии; - время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

2. Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:

,

где - волновая функция, описывающая состояние частицы; m - масса частицы; E - полная энергия; - потенциальная энергия частицы.

3. Плотность вероятности:

,

где - вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой x на участке dx.

4. Вероятность обнаружения частицы в интервале значений от до :

.

5. Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокой, прямоугольной потенциальной ямы:

а) собственная нормированная волновая функция:

;

б) собственное значение энергии

,

где n - квантовое число ( ); - ширина ямы. В области , и и .

Электронная теория металлов

6. Распределение свободных электронов в металле по энергиям при абсолютном нуле:

,

где - концентрация электронов, энергии которых заключены в пределах от  до ; m - масса электрона.

Это выражение справедливо при (где - энергия или уровень Ферми).

7. Энергия Ферми в металле при :

,

где n - концентрация электронов в металле.

Полупроводники

8. Удельная проводимость собственных полупроводников:

,

где e - элементарный заряд; n - концентрация носителей тока электронов и дырок; и - подвижности электронов и дырок соответственно.

9. Напряжение на гранях прямоугольного образца при эффекте Холла, холловская разность потенциалов:

,

где - постоянная Холла; B - магнитная индукция; j - плотность тока; a - ширина пластины (образца).

10. Постоянная Холла для полупроводников типа алмаз, германий, кремний и др., обладающими носителями тока одного вида (n или p):

,

где n - концентрация носителей тока.

11. Удельная проводимость полупроводников:

,

где - константа, слабо меняющаяся с температурой; - ширина запрещенной зоны (энергия активации); k - постоянная Больцмана.

12. Температурный коэффициент сопротивления полупроводников:

; ,

где  - удельное сопротивление полупроводника.

Радиоактивность

13. Массовое число ядра (число нуклонов в ядре):

,

где Z - зарядовое число (число протонов); N - число нейтронов.

14. Основной закон радиоактивного распада:

,

где N - число ядер, не распавшихся к моменту времени t; - число ядер в начальный момент ( );  - постоянная радиоактивного распада.

15. Число ядер, распавшихся за время t:

.

В случае если промежуток времени , за который определяется число распавшихся ядер много меньше периода полураспада , то число распавшихся ядер можно определить по формуле:

.

16. Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада:

.

17. Среднее время жизни  радиоактивного ядра, т.е. промежуток времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в e раз:

.

18. Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе:

,

где m - масса изотопа;  - молярная масса; - число Авогадро.

19. Активность A радиоактивного изотопа:

, или ,

где dN - число ядер, распадающихся за интервал времени dt; - активность изотопа в начальный момент времени.

20. Удельная активность изотопа:

.

21. Дефект массы ядра:

,

где Z - зарядовое число (число протонов в ядре); A - массовое число (число нуклонов в ядре); ( ) - число нейтронов в ядре; - масса атома водорода; - масса нейтрона; M - масса атома.

22. Энергия связи ядра:

,

где - дефект массы ядра; c - скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах (МэВ) энергия связи ядра равна:

,

где - дефект массы в а.е.м.; 931 - коэффициент пропорциональности 1 а.е.м.=931,4 МэВ.

23. Энергия ядерной реакции:

,

где и - массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей частицы; - сумма масс покоя ядер продуктов реакции.

При числовом подсчете энергии атомной реакции массы ядер удобно заменить массами нейтральных атомов, выраженных в атомных единицах массы (а.е.м.), а энергию ядерной реакции вычислять во внесистемных единицах (МэВ). При этом коэффициент пропорциональности определяется по формуле МэВ/(а.е.м.), где с - скорость света в вакууме.