§ 8. О сингулярных краевых задачах

В данном параграфе излагаются некоторые сведения о задаче на собственные значения, собственные функции для уравнения

(265)

коэффициенты которого не удовлетворяют условиям регулярности, наложенными в §1. Последнее означает, что дифференциальное выражение

либо рассматривается в бесконечном или полубесконечном промежутке, либо коэффициент обращается в нуль по крайней мере на одном из концов рассматриваемого промежутка , либо функция становится неограниченной на . Если налицо хотя бы одно из этих обстоятельств, то называют сингулярным дифференциальным выражением, а конец, где нарушаются условия регулярности, - сингулярным концом. Внутри рассматриваемого промежутка функция предполагается, как и прежде, непрерывно дифференцируемой и положительной, - непрерывной.

Изучение уравнения (265) связывается с изучением оператора

с заданной каким-то образом областью определения . В дополнение к сказанному выше будем считать, что функция непрерывна, положительна и интегрируема по . К уравнению (265) требуется присоединить краевые условия, при которых задача на собственные значения, собственные функции становится правильно поставленной. Задание таких краевых условий адекватно описанию области определения оператора .

В случае, когда дифференциальное выражение является сингулярным, постановка краевых условий требует принципиально нового подхода. Мы не имеем возможности рассматривать общую теорию сингулярных краевых задач и ограничиваемся ниже частными случаями, важными в приложениях к математической физике.

Будут изучаться дифференциальные выражения вида

(266)

с полиномиальными или дробно-рациональными коэффициентами с особенностью хотя бы на одном из концов рассматриваемого промежутка . Выражение (266) переписывается в виде

(267)

и рассматривается в промежутке с особенностью хотя бы на одном из концов промежутка. При постановке того или иного краевого условия для уравнения

мы базируемся на теореме §6 о поведении решений вблизи слабо сингулярной особой точки. При этом важно, чтобы корни соответствующего определяющего уравнения не зависели от . Последнему требованию удовлетворяет, например, на конце уравнение (рассматриваемое в промежутке , )

( - полиномы) и в конечном промежутке - уравнение

( - постоянные). Если, в частности, корни определяющего уравнения имеют разные знаки (или оба равны нулю), то одно решение оказывается ограниченным, другое - неограниченным в окрестности рассматриваемой граничной точки. Появляется потенциальная возможность выставить требование ограниченности как краевое условие. Вопрос о корректности такого условия подлежит исследованию. Это исследование будет проводиться в конкретной ситуации. Подобный подход приводит, естественно, к другим краевым условиям, которые будут указаны ниже.

Итак, как и в §1, приведем выражение (266) к виду

(267)

В случае наличия сингулярных концов целесообразно рассматривать операторы , порожденные дифференциальным выражением (267), как действующие в пространстве с весом , где промежуток не содержит сингулярных граничных точек (например, в случае полубесконечного промежутка с сингулярностью в нуле рассматривается пространство ). Оправдывается это нижеследующими леммами. Введем в рассмотрение функции

и пусть

Лемма. Пусть область определения оператора :

состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на функций таких, что

а) ; б) . (268)

Тогда оператор симметричен, т.е.

(269)

(скалярное произведение берется в пространстве , т.е.

(270)

Доказательство. Очевидно, что при можно написать

Интегрируя по частям, получим

(271)

Оставшийся интеграл можно записать в виде

Переходя к пределу при в (271), получим равенство

(272)

из которого следует (269) (если учесть условие 268б)), что и требовалось доказать.

Замечание. Из равенства (272) следует, что в рассмотренной ситуации условие 268б) не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы оператор был симметричен.

Оператор можно продолжить на комплексное пространство , положив

(273)

Этот продолженный оператор будет вещественным в том смысле, что (это - следствие вещественности коэффициентов дифференциального выражения). Он будет обладать свойством эрмитовой симметрии, т.е.

где

(274)

Обычным образом доказывается, что собственные значения ( в предположении их существования) оператора вещественны и соответствующие им собственные функции можно выбрать вещественными.

Вещественность собственных значений и собственных функций оператора позволяет рассматривать его только на вещественном пространстве , т.е. вернуться при рассмотрении спектральных свойств к оператору .

Лемма. Собственные функции симметричного оператора , определенного в предыдущей лемме, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство в операторных терминах с использованием скалярного произведения получается моментально. Пусть

Умножим первое равенство скалярно на , второе на и вычтем. Получим

(275)

В силу симметрии оператора слева стоит нуль. Поскольку , заключаем, что .

Приведем для сравнения развернутое доказательство этого же утверждения. Условия леммы позволяют написать

Помножим первое равенство на , второе на и проинтегрируем по . Вычитая потом полученные равенства одно из другого, производя выкладки и пользуясь условием 268б), придем в конечном итоге к выводу "об ортогональности и с весом ":

что и требовалось доказать.

Отметим, что в случае регулярной задачи Штурма-Лиувилля с помощью краевых условий

(276)

легко проверяется равенство и устанавливается, таким образом, симметричность соответствующего оператора . Попытаемся для сингулярного дифференциального выражения вида (265) указать краевые условия, обеспечивающие симметричность возникающего оператора .

Начнем с уравнения (244). Оно связано с дифференциальным выражением Гегенбауэра

Соответствующее уравнение

(277)

есть уравнение с полиномиальными коэффициентами со слабо сингулярными точками . Будем рассматривать его в промежутке . Переписав его в виде

найдем определяющее уравнение в точке :

Оно обладает корнями

Предположим, что .Тогда весовое пространство , в котором ищется решение уравнения (277), содержит в себе всевозможные полиномы (так как вес интегрируем в промежутке ). Согласно второй теореме §6 уравнение (277) обладает решением в виде степенного ряда

сходящимся при . Методом неопределенных коэффициентов получим рекуррентное соотношение

(278)

из которого определятся коэффициенты , если задан коэффициент .

Из равенства (278) видно. что решение является полиномом, если . Этот полином обозначается через и называется полиномом Гегенбауэра. Вообще говоря, он определен с точностью до выбора . Мы считаем выбранным так, чтобы при частных значениях выполнялись указанные в первом замечании соотношения с полиномами Чебышева и Лежандра.

Теорема. Полином Гегенбауэра является собственной функцией, принадлежащей собственному значению

(279)

следующей краевой задачи:

(280а)

(280б)

Других собственных значений и собственных функций эта задача не имеет (речь идет о решениях из , ), краевые значения понимаются в предельном смысле).

Совокупность

полиномов Гегенбауэра представляет собой ортогональную систему функций в пространстве , получающуюся в результате ортогонализации степеней в этом пространстве. Она полна в .

Замечание. При полиномы Гегенбауэра превращаются в полиномы Чебышева и полиномы Лежандра соответственною Если , где - неотрицательное целое, то полиномы Гегенбауэра выражаются через полиномы Лежандра:

Отсюда следует, что функции

ортогональны в промежутке (в смысле ).

Функции называются присоединенными функциями Лежандра и наряду с полиномами Лежандра часто используются в приложениях.

Доказательство теоремы. Если , то согласно второй теореме §6 второе решение уравнения (277) отыскивается в виде

(281)

где ряд сходится при .

Таким образом, оба решения остаются ограниченными при при любом (более того, ) Краевым условиям (280а) удовлетворяет решение в том случае, если (из дальнейшего будет видно, что других собственных значений не существует). Выбрав надлежащим образом , получим из собственную функцию, принадлежащую . Областью определения рассматриваемого оператора будем считать совокупность функций , для которых и выполняются условия (280). Тогда имеем

и, следовательно, по лемме второй получаем: полиномы ортогональны в .

Аналогичное утверждение получается и при . Здесь второе решение (при нецелых оно отыскивается в том же виде (281), при целых может содержать еще логарифмический множитель, при такой множитель обязательно присутствует) неограничено. Поэтому использование условий (280б) естественно приводит к утверждению об ортогональности полиномов .

Из того факта, что - полином степени точно (т.е. коэффициенты при отличен от нуля), и доказанной ортогональности следует, что полиномы могут быть получены процессом ортогонализации системы степеней в пространстве .

Заключительное утверждение теоремы вытекает из теоремы [7.5. гл. 4 Лизоркин]. Именно из нее следует полнота системы полиномов в пространстве . В свою очередь из полноты вытекает упомянутый выше факт о несуществовании других собственных функций, собственных значений задачи (280) в пространстве (аргументируйте подробнее). Теорема доказана.

Остановимся на утверждениях, высказанных в замечании.

Пусть . Задача (280а) переписывается в виде

Подстановка (иначе: ) переводит уравнение (282) в уравнение

Краевые условия (280а) переводят условия

Отсюда получаем, что задача имеет решение в том случае, если . Это решение есть

Следовательно,

и первое утверждение доказано.

Пусть . Уравнение переходит в уравнение

(284)

Это уравнение Лежандра, решениями которого при являются полиномы Лежандра . Теорема позволяет утверждать, что и, следовательно, является собственной функцией уравнения (284), к которому присоединены краевые условия

ограничены, (285)

принадлежащей собственному значению . Других собственных значений, собственных функций задача (283), (284) не имеет (в силу полноты системы ).

Обратимся, наконец, к рассмотрению случая, когда есть положительное целое число . Полиномы Лежандра удовлетворяют уравнению

Продифференцируем это уравнение раз (считая его тождеством, т.е. при ):

Полученное уравнение можно переписать в виде уравнения для :

(286)

решение которого является полиномом Гегенбауэра .

Таким образом,

,

или, по-другому,

что и требовалось доказать.

Замечание. Как было сказано, вместо полинома часто рассматривают присоединенную функцию Лежандра

Делая в уравнении (286) замену искомой функции

легко получим уравнение присоединенных функций Лежандра

которому удовлетворяет функция .

Проведенный при доказательстве теоремы анализ показывает каким образом ставятся краевые условия в слабо сингулярной точке. Эта постановка основана на использовании теоремы §6, характеризующей поведение линейно независимых решений дифференциального уравнения в окрестности правильной особой точки. Следует сказать, что указанные постановки не единственны. Однако общая теория сингулярных краевых задач достаточно сложна, мы стремимся лишь проиллюстрировать случаи, приводящие к специальным функциям. Отмети, например, что краевые условия в (280а) и (280б) можно заменить единым краевым условием при всех :

(287)

В самом деле, это условие отсеивает решение , так как для него указанный предел отличен о нуля. Условие (287) обеспечивает симметричность оператора , и , таким образом, все изложенные факты останутся верными. В физических приложениях используются обычно условия (280б).

В связи с изложенным полезно отметить, что если рассматривается краевая задача в промежутке , один конец которого регулярен, а другой сингулярен в силу наличия в нем слабо сингулярной особенности, то на регулярном конце можно ставить обычное краевое условие, а на сингулярном - краевое условие, диктуемое теоремой §6. Проиллюстрируем сказанное на примере уравнения Бесселя.

Для уравнения Бесселя (238) с параметром определяющее уравнение (248) имеет корни . Поэтому одно решение ограничено, другое неограничено при . Точка является обыкновенной точкой уравнения (238). Эти соображения оправдывают такую постановку краевой задачи:

"Найти в промежутке решение уравнения Бесселя

(288)

ограниченное на левом конце промежутка и обращающееся в нуль на правом".

Покажем, что эта задача обладает собственными значениями, собственными функциями. При положительном функция удовлетворяет уравнению (288). Эта функция ограничена в нуле, т.е. удовлетворяет первому краевому условию. Для определения получается уравнение

возникающее из краевого условия в точке 1. Как было отмечено в §6, функция обладает счетным множеством нулей в промежутке ; обозначим их . Из написанного уравнения получим собственные значения

Соответствующие собственные функции суть

,

Из вышеизложенной теории вытекает ортогональность этих функций на отрезке с весом .

Отметим, что на регулярном конце к уравнению (288) можно присоединить общее краевое условие вида

Остановимся коротко на постановке краевых задач для уравнения Лагерра (239) и уравнения Эрмита, приводящих, соответственно, к полиномам Лагерра и Эрмита как собственным функциям. Будем базироваться на следующей лемме, часть которой доказана в §7.

Лемма. Одним из решений уравнения Лагерра

(289)

при является полином Лагерра . При этом второе линейно независимое решение уравнения (289) не принадлежит .

Доказательство. Выберем точку так, чтобы она лежала правее всех нулей полинома . По формуле Остроградского-Лиувилля при получаем соотношение

Очевидно, что второе слагаемое в квадратных скобках растет при . Отметим, что при интегрировании число экспоненциальной функции имеет место соотношение . Такое же соотношение имеет место и для рассматриваемого интеграла (подынтегральная функция ведет себя при , по существу, как экспонента). В самом деле пользуясь правилом Лопиталя, получим

Из сказанного следует, что растет при как и поэтому интеграл

не существует, т.е. .

Замечание. Аналогично можно показать, что второе решение дифференциального уравнения для полиномов Эрмита растет при как и, таким образом, (при ),

Решение краевой задачи на собственные значения, собственные функции для уравнения

ищется нами в весовом пространстве (т.е. оператор считается действующим в и, в частности, определен на множестве , плотном в ). С учетом этого обстоятельства Обнаруженный в последней лемме факт позволяет не ставить краевого условия для уравнения Лагерра в (для уравнения Эрмита в ). Таким образом, справедливы следующие утверждения.

Теорема. Полином Эрмита является собственной функцией краевой задачи

(290.1)

, (290.2)

принадлежащей собственному значению . Других собственных значений, собственных функций задача (290) не имеет.

Совокупность полиномов Эрмита образует ортогональный базис пространства .

Доказательство. Последнее утверждение теоремы было доказано [§7 гл.4 Лизоркин]. Там же было обнаружено, что полиному удовлетворяют уравнению (290.1). Удовлетворение краевого условия в (290.2) при этом очевидно; второе замечание показывает, что любое другой решение уравнения (290.1), линейно независимое с , не удовлетворяет ему. Несуществование других собственных значений, собственных функций является следствием полноты системы полиномов Эрмита в .

Обратимся к уравнению Лагерра (289). В нуле это уравнение имеет правильную особенность с определяющим уравнением

корни которого суть , . Отсюда видно, что постановка краевого условия в нуле зависит от величины . Весовая функция в случае уравнения Лагерра равна , при она интегрируема в рассматриваемом промежутке . При таком ограничении на постановка краевого условия в нуле делается из соображений, вполне аналогичных тем, которые были использованы при рассмотрении уравнения Гегенбауэра.

Теорема. Полином Лагерра является собственной функцией следующей краевой задачи:

а) при

(291а)

б) при

(291б)

соответствующей собственному значению , . Других собственных значений, собственных функций задача (291) не имеет.

Совокупность полиномов Лагерра полна в пространстве (т.е. образует ортогональный базис пространства ).

Доказательство полноты системы полиномов Лагерра можно провести независимо, рассматривая их как результат ортогонализации степеней в пространстве . Остальное доказательство содержится, по существу, в предыдущих рассуждениях.

Заметим, что краевые условия (291а), (291б) в нуле можно заменить единым при всех , , условием

В заключение отметим, что при замене уравнение Эрмита переходит в уравнение гармонического осциллятора

решение которого ищется при этом в пространстве . Оно имеет при решения функции Эрмита

отличающиеся от полиномов Эрмита множителем . Это явствует из изложенного. Ясно также, что

(292)

Часто соотношение (292) присоединяют к уравнению (291) в качестве краевого условия. Следует отдавать себе отчет, что в этом нет необходимости, если оговорена квадратичная суммируемость решения.

Аналогично, замена переводит уравнение Лагерра в уравнение

(293)

формально сопряженное в пространстве . При его решениями являются функции Лагерра

отличающиеся от полиномов Лагерра множителем . Эти решения являются собственными функциями уравнения (293) при соответствующих краевых условиях. Например, при рассматривается задача

(294)

при условии, что решение ищется в . Ее собственными значениями являются числа , а соответствующими собственными функциями - . Последние зануляются на бесконечности, т.е.

(295)

и поэтому вместо оговорки о принадлежности решения к можно к задаче (294) присоединить условие (295).

Замечание. Краевое условие в нуле (291а), соответственно (291б), можно заменить более общим:

( ограниченность вблизи нуля), (291а)

( ограниченность решения вблизи нуля). (291б)

 Докажите, что плотно в

53