§ 7. Уравнения Гаусса, Бесселя и др. Цилиндрические функции и др.

Условия, которые мы наложили на полиномы в предыдущем параграфе (см. (218)), означают, что для дифференциального уравнения

(233)

каждая конечная точка или обыкновенная, или слабо сингулярная. Напомним, что нули многочлена считаются вещественными, это ограничение существенно для рассуждений данного параграфа. Более общее изложение требует знание теории функций комплексного переменного.

К особым точкам уравнения (233) присоединяется, вообще говоря, бесконечно удаленная точка. Это делается следующим образом. После замены переменных уравнение (233) перейдет в уравнение

(234)

коэффициенты которого опять являются дробно-рациональными функциями (от ). Если его преобразованное уравнение (234) имеет в точке слабую сингулярность, то говорят, что исходное уравнение (233) имеет слабую сингулярность в (и соответствующее определяющее уравнение в точке относят к "точке" ). Если точка оказывается обыкновенной точкой уравнения (234), то говорят, что бесконечно удаленная точка является обыкновенной точкой уравнения (233). Во всех остальных случаях бесконечно удаленную точку уравнения (233) называют существенно сингулярной.

Из сказанного видно, что необходимым и достаточным условием слабой сингулярности точки (точнее, условием отсутствия существенной сингулярности в ) является совокупность требований:

а) полином имеет степень, меньшую, чем (тогда

и коэффициент при в (234) имеет вид );

б) полином имеет степень, не большую, чем (тогда

и коэффициент при в (234) имеет вид ).

В силу наложенных на коэффициенты уравнения (233) условий оно может иметь слабо сингулярные особенности в конечных точках (в нулях многочлена ) и особенность в бесконечно удаленной точке, как слабую, так и существенную.

Имеется лишь одно уравнение вида (233) без конечных особых точек и со слабой сингулярностью в : .

Уравнение в двумя слабо сингулярными точками , - это уравнение Эйлера

Легко также видеть, что общее уравнение (233) с тремя правильно сингулярными точками записывается в виде

(235)

Это - так называемое уравнение Римана, важные частные случаи его будут обсуждаться ниже.

В теории специальных функций математической физики рассматриваются уравнения вида (233) не более чем с тремя особыми точками. Среди них уравнение (235) с тремя слабо сингулярными точками является важнейшим. По существу, вся теория специальных функций может быть развернута, исходя из уравнения (235). В предельном переходе (при котором происходит "слияние" двух слабо сингулярных точек в ) из уравнения (235) возникает уравнение с двумя особыми точками (одна из которых, находясь в , является существенно особой). Предельный переход, при котором происходит слияние всех трех особых точек уравнения (235) в , приводит к уравнению с единственной существенной особенностью в . Ограничимся тем, что перечислим важнейшие из возникающих на этом пути уравнений (полное изложение этой теории требует выхода в комплексную плоскость):

1) уравнение тригонометрических функций:

(236)

2) уравнение Эрмита:

(237)

3) уравнение Бесселя:

(238)

4) уравнение Лагерра:

(239)

Уравнения (236) и (237) имеют единственную особенность - существенно сингулярную точку на , уравнения (238) и (239) - две особенности - слабо сингулярную точку в нуле и существенно сингулярную в .

Отметим, что все перечисленные уравнения (235)-(239) могут быть получены как частные случаи уравнения с полиномиальными коэффициентами

(240)

где - многочлен не выше второй степени (без кратных корней), ( ) - многочлен не выше первой (второй) степени. Последнее именуется дифференциальным уравнением специальных функций.

Задача. Докажите, что уравнение вида

(241)

есть уравнение с полиномиальными коэффициентами (точнее, приводится к таковому), имеющее, вообще говоря, существенную сингулярность в и слабую сингулярность в нуле. (Замечание. При уравнение содержит в качестве частных случаев перечисленные выше уравнения (236)-(239). В случае особенность имеется лишь на .)

Вернемся к уравнению (238). Его частным случаем является следующее уравнение:

(242)

именуемое уравнением Гаусса или гипергеометрическим уравнением. Оно содержит только три параметра вместо пяти, имевшихся в уравнении (238). (Однако любое уравнение Римана может быть сведено к уравнению (242) с помощью дробно-линейного преобразования аргумента и последующей линейной замены искомой функции и , таким образом, решение уравнения (238) выражается через решение уравнения (242)). Уравнение (242) имеет слабо сингулярные особенности в точках . Легко подсчитать, что определяющее уравнение (222) в точке приобретает в случае уравнения Гаусса вид

(243)

и имеет корни . Если не является целым числом, то согласно последней теореме §6 (с дополнением) уравнение (241) имеет два решения в виде обобщенных степенных рядов. Более того, если не совпадает с отрицательным числом или нулем, то одно решение отыскивается в виде степенного ряда . Методом неопределенных коэффициентов находим рекуррентное соотношение

При получаем решение в виде гипергеометрического ряда

сходящегося при (по признаку Даламбера). С помощью гипергеометрической функции можно дать выражение всем другим специальным функциям. Многие элементарные функции также выражаются через . Убедитесь, например, что

Чтобы получилось другое решение уравнения (242), можно было бы воспользоваться при нецелом методом неопределенных коэффициентов, отыскивая его, согласно теореме §6 (с дополнением), в виде обобщенного степенного ряда

Мы скорее придем к цели, если в уравнение (242) введем новую искомую функцию , связанную с соотношением

Тогда

Подстановка в уравнение дает

Мы опять получили гипергеометрическое уравнение, в которое вместо параметров входят соответственно . Его решение в виде степенного ряда есть . Итак, второе решение выражается через гипергеометрическую функцию:

Оно имеет смысл, если не равно нулю или целому отрицательному числу. Общее решение уравнения (242), если отлично от нуля или целого отрицательного числа, записывается в виде

На нахождении второго частного решения в указанных исключительных случаях останавливаться не будем.

Другим важным частным случаем уравнения (235) является уравнение Гегенбауэра ( или ультрасферическое уравнение)

(244)

Из этого уравнения при получается уравнение Лежандра

(245)

и уравнение Чебышева (при )

(246)

Мы рассмотрим эти уравнения в §8 в связи с сингулярными краевыми задачами.

Остановимся подробнее на уравнении Бесселя (238). Его решения именуются цилиндрическими функциями и являются, пожалуй, наиболее употребительными из специальных функций.

Запишем уравнение Бесселя (238) при в виде

(247)

Как уже говорилось, при уравнение это имеет слабую сингулярность. Определяющее уравнение (222) приобретает в этой точке вид

(248)

Будем считать неотрицательным вещественным числом. Тогда при корни уравнения (248) совпадают; при больший корень есть , меньший - .

Согласно последней теореме §6 можно найти решение уравнения в виде обобщенного степенного ряда, начинающегося с :

Пользуясь формулой (225) или путем непосредственной подстановки ряда в дифференциальное уравнение (247), найдем рекуррентное соотношение для коэффициентов:

(249)

Разрешая последовательно эти соотношения, получаем ряд

(250)

Легко проверяется, что ряд в квадратных скобках сходится при всех . Умножая ряд (250) на множитель и пользуясь -функцией, получим решение уравнения (247):

(251)

которое известно как функция Бесселя индекса . При целом функция - аналитическая на всей оси функция (т.е. она представляется степенным рядом, сходящимся на всей оси).

Разность корней определяющего уравнения (248) равна

Поэтому, если второе решение уравнения (247) можно искать в виде ряда

Для коэффициентов получаются те же рекуррентные соотношения (249), но с заменой на . В конечном итоге придем ко второму решению

(252)

Оказывается, что формула (252) не теряет смысла также и в случае, когда является полуцелым числом, т.е. при

Более того, получаемые при этих значения функции , являются решениями уравнения (247) ( в котором заменяется на ). Этот факт проверяется непосредственной подстановкой ряда в уравнение.

Замечание. Эта ситуация при служит иллюстрацией того факта (отмеченного выше при доказательстве дополнения к теореме §6), что логарифмический добавок во втором решении может иногда отсутствовать (что соответствует обращению в нуль коэффициента в (231)).

Линейная независимость функций и (последние определены пока только при ) очевидна: одна из них обращается в нуль при , другая стремится к при . Поэтому общее решение уравнения (247) при указанных имеет вид

Добавим к сказанному, что функции Бесселя полуцелого аргумента , выражаются через элементарные функции. Например, из формулы (251) получим при

Аналогично, из формулы (252) при получим

При целых неотрицательных значениях параметра вторе решение уравнения (247), линейно независимое с , имеет в соответствии с общей теорией, рассмотренной в дополнении к последней теореме §6, слагаемое в логарифмической особенностью. Его можно отыскать методом неопределенных коэффициентов в виде

Обычно берут здесь и к поученному таким образом решению добавляют слагаемое , где - специальная постоянная, именуемая постоянной Эйлера:

Возникающую в результате функцию называют бесселевой функцией второго рода с индексом (или функцией Неймана индекса ). Она имеет выражение

(253)

Ясно, что обращается в бесконечность при .

Функция Бесселя второго рода при произвольных значениях может быть определена равенством

(254)

При нецелых из формулы (254) видно, что есть решение уравнения, линейно независимое с . При целых формула (254) теряет смысл. Его можно понимать в предельном смысле

(255)

Дело в том, что функция стремится к функции (для каждого фиксированного ) при . В самом деле, формула (252) показывает, что при слагаемые с исчезают (так как ) и остаются слагаемые

Таким образом, выражение под знаком предела в (255) представляет собой неопределенность вида , раскрытие которой по правилу Лопиталя приводит к (253).

Выбор функции Неймана в качестве второго решения, линейно независимого с , диктуется рядом соображений. Во-первых, пара образует фундаментальную систему при всех (чего нельзя сказать о паре ). Во-вторых, принимается во внимание их поведение при :

(256)

(257)

(функции остаются ограниченными в окрестности ; при полуцелых они обращаются в нуль). Оправдывают этот выбор и другие факты теории цилиндрических функций (например, взаимосвязи функций Бесселя с функциями Ганкеля). Отметим, что из формул (256), (257) вытекает, что функции Бесселя имеют бесконечное множество нулей на действительной оси.

В заключение остановимся коротко на уравнение Лагерра (239) и его полиномиальных решениях. Запишем уравнение (239) в виде

Видно, что в начале координат уравнение имеет слабую сингулярность с определяющим уравнением

корни которого суть . Будем считать .Тогда, согласно последней теореме §6, существует решение рассматриваемого уравнения в виде степенного ряда

(258)

Подставляя ряд в уравнение (239), придем к рекуррентному соотношению

(259)

Задавая произвольно , получим из (259)

Следовательно , если равно целому неотрицательному числу , существует решение в виде полинома

(260)

Возьмем в виде

Полученный полином записывается к компактном виде

именуется полиномом Лагерра и обозначается символом .

Согласно последней теореме §6 второе решение уравнения (239) (в том числе и при ) отыскивается в виде

если не совпадает с неотрицательным целым, в противном случае появляется добавочный член с логарифмическим множителем. В любом случае это второе решение не ограничено при .

Напоминание о -функции. Для -функцию определяют формулой

Написанный интеграл имеет смысл при .

Справедливо соотношение

(261)

В самом деле, интегрируя по частям, получим

Отынтегрированный член исчезает; приходим к (261) (при ).

Непосредственное вычисление дает

(262)

Если - целое положительное число то

(263)

Функциональное соотношение (261) позволяет распространить определение на все вещественные , отличные от

В самом деле, положим

(264)

Если , то правая часть в этом равенстве имеет смысл, так как . Поэтому равенство (264) можно принять за определение при . Ясно, что при . Заметим, кстати, что при числитель справа стремится к 1, а знаменатель - к нулю и, следовательно,

Пусть теперь . Тогда и правая часть в (264) опять имеет смысл. Следовательно, формула (264) дает возможность определить уже для . Ясно, что при . Если , то из (264) следует, что

Продолжая аналогично далее, получим в конечном итоге функцию , определенную при всех .