§ 6. Уравнения с полиномиальными и рациональными коэффициента-ми. Обыкновенные и особые точки. Решение точками

В математической физике возникают уравнения вида

, ( 208 )

где коэффициенты являются многочленами. При изучении таких уравнений широко используется представление решения степенным рядом. Напомним некоторые понятия и факты, связанные со степенными рядами.

Определение. Функцию , заданную на промежутке действительной оси назовем аналитической на , если она в каждой точке этого промежутка разлагается в степенной ряд (с центром в ), сходящийся в некоторой окрестности . В частности, если ряд

имеет радиус сходимости , то функция аналитична в интервале . Договоримся еще считать функцию аналитической в точке , если она представляется степенным рядом, сходящимся в некоторой окрестности этой точки.

Будем рассматривать уравнение

, ( 209 )

в котором функции разлагаются в степенные ряды в окрестности точки с радиусом сходимости (т.е. сходящиеся при ):

, ( 210 )

, ( 211 )

. ( 212 )

Точку будем называть при этом обыкновенной точкой уравнения (209). В частности, такая ситуация будет иметь место, если уравнение (208) поделить на , при условии, что . В этом случае коэффициенты

являются рациональными функциями и разлагаются в степенные ряды с радиусом сходимости, равным расстоянию точки до ближайшего нуля полинома .

Теорема. Задача Коши для уравнения (209) с аналитическими в точке коэффициентами имеет решение при произвольных начальных данных

представимое в виде степенного ряда

с тем же радиусом сходимости, что и ряды (210)-(212).

Доказательство. Для простоты записи положим и будем искать решение в виде

. ( 213)

Дифференцирование дает

, ( 214)

. ( 215)

Перемножая ряды (210) и (214) ( (211) и (213)), получим

После подстановки в уравнение (209) придем к равенству

Сравнение коэффициентов при дает следующие соотношения для определения коэффициентов при :

( 216)

Числа и выражаются через коэффициенты . Коэффициенты и находятся из начальных условий

( 217)

После этого из первого уравнения системы (216) находится , из второго - и т.д.

Докажем сходимость полученного ряда (213) при .

Пусть - произвольное положительное число, . Из сходимости рядов (210), (211), (212) следует, что найдется положительное число такое, что

Сравнение найденных коэффициентов с величинами , определенными соотношениями

показывает, что . С другой стороны, из соотношения (которое легко проверяется)

сразу следует, что при . Это означает, что ряд сходится при .Следовательно, ряд тем более сходится при ( ). Поскольку можно взять как угодно близко к , заключаем, что ряд (213) сходится при . Этим теорема доказана.

Замечание. Примененный метод называется методом неопределенных коэффициентов. В частности, теорема верна при . В этом случае полученное решение линейно зависит от начальных данных, т.е. от . Группируя члены, его можно записать в виде

где - линейно независимые решения уравнения (209). Таким образом, получено общее решение уравнения (209) ( с ).

Замечание. Из теоремы следует, что в случае, когда коэффициенты и однородного уравнения (209) являются полиномами, решение его определяется рядом (213), сходящимся при .

Задача. Полиномы Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению

( 217)

при . Получите общее решение уравнения (217) методом неопределенных коэффициентов. При каких условиях это решение превращается в полином? (Указание. Для определения коэффициентов получается соотношение

с помощью которого можно получить два частных решения в виде разложения по четным и нечетным степеням соответственно. Эти ряды сходятся при всех . Если , где - неотрицательное число, то один из рядов превращается в полином степени - полином Эрмита .)

Нам предстоит изучить уравнение вида (208) с нулевой правой частью, в котором многочлен имеет вещественные корни не выше второго порядка, причем, если - корень второго порядка:

то . В указанных условиях уравнение (208) вблизи точки можно переписать в виде

( 218)

где - рациональные функции. Рассмотрим более общее уравнение вида (218) с функциями , аналитическими в точке (т.е. разлагающимися в степенные ряды, сходящиеся в некоторой окрестности ).

Определение. Пусть дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде (218), где функции разлагаются в степенные ряды

сходящиеся в некоторой окрестности точки . В этом случае точка называется слабо сингулярной точкой уравнения (218), если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Нижеследующая теорема дает представление решения уравнения (218) в виде обобщенного степенного ряда в окрестности слабо сингулярной точки. В дальнейшем она будет использоваться в случае рациональных функций весьма специального вида.

Теорема. уравнение

( 219)

со слабой сингулярностью в точке , коэффициенты которого представляются при рядами

имеет решение в виде обобщенного степенного ряда

( 220)

где - "больший" корень определяющего уравнения

причем степенной ряд в (220) сходится при .

Пояснение. Если - корни определяющего уравнения, то в качестве берется тот корень, для которого , . В случае вещественных и различных корней это означает, что - наибольший корень. Без ущерба для восприятия дальнейшего материала можно считать корни вещественными и понимать степень при нецелых в смысле

Доказательство. Без уменьшения общности будем считать . Подставляя (220) в уравнение (219) и заменяя в последнем соответствующими рядами, получим

( 221)

Для определения чисел следует приравнять нулю коэффициенты при . При имеем

Легко видеть, что если , то получается тривиальное решение. Поэтому (для определенности положим ). Определим соотношением

( 222)

Назовем уравнение (222) определяющим равнением. Пусть и - корни уравнения (222). Если разность не равна целому числу, возьмем в качестве любой из корней, в противном случае - тот из корней, для которого оба числа , неотрицательны (тогда при любом не совпадает с отброшенным корнем и, следовательно, ). Такой выбор определяется структурой возникающих из равенства (221) уравнений для определения коэффициентов:

( 223)

Коэффициентом при , стоит величина которая в силу выбора не обращается в нуль. есть линейная форма от ,

( 224)

Таким образом, из системы (223) последовательно определяются коэффициенты:

( 225)

Докажем сходимость полученного ряда . Заметим прежде всего, что

( 226)

(мы воспользовались тем, что и ).

Построим мажорантный ряд следующим образом. При положим . При будем исходить из равенства

и воспользуемся тем, что в силу (226)

.

Так же, как и в предыдущей теореме, найдется такое, что при имеем , . Пользуясь формулой (224), напишем

Отсюда ясно, что если при положить

( 227)

то для определенных этим соотношение чисел получим . При этом из (227) следует соотношение

из которого вытекает, что при . Это означает, что мажорантный ряд сходится при , тем более сходится при исходный ряд . Поскольку можно взять как угодно близко к , этим доказана сходимость ряда при . Теорема доказана.

Дополнение к теореме. Если разность корней определяющего уравнения (222) отлична от целого числа, то методом неопределенных коэффициентов получаются два решения уравнения (219):

( 228)

где коэффициенты определяются при системой (223) при ( ). Написанные ряды сходятся при , функции линейно независимы.

Если же , где - целое неотрицательное число, то второе решение уравнения (219), линейно независимое от решения , даваемого формулой (220), представляется в виде

( 229)

где постоянные и могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов.

Доказательство. Первое рассуждение, очевидно, следует из рассуждений при доказательстве теоремы. Линейная независимость также очевидна (их линейная комбинация не может обращаться в нуль тождественно, так как они по-разному ведут себя при ).

Для доказательства второго утверждения (в котором корни уравнения () обозначены через ) прибегнем к формуле Лиувилля-Остроградского. Для определителя Вронского системы решений имеем (выкладки проводятся при )

Отсюда получим

т.е. (считаем )

Ряд получен интегрированием ряда, сходящегося при ; он сходится при . Поскольку законно умножение сходящихся рядов, то функция представляется сходящимся при рядом

( 230)

(который может быть получен последовательным умножение рядов). Очевидно, что справедливо равенство

Подставляя вместо его выражение (230) и меняя порядок суммирования (что законно в силу абсолютной сходимости рассматриваемых рядов), получим для выражение

в виде сходящегося при ряда с . Следовательно по формуле Остроградского-Лиувилля

Отношение в квадратных скобках представляется рядом , где (ибо и ), сходящимся в окрестности точки . Кроме того, сумма корней равна , т.е. . Поэтому получим

(штрих при сумме означает, что член с в ней отсутствует, константу будем полагать в дальнейшем нулем). Отсюда

( 231)

Ряд возник в результате перемножения рядов

, ,

и, следовательно, он сходится в пересечении интервалов сходимости этих рядов (т.е. в некоторой окрестности точки ). При , т.е. корни определяющего уравнения совпадают, получим из (231), учитывая, что :

( 232)

Отметим, что при коэффициент в (231) отличен от нуля: , коэффициент (при члене с логарифмом) может иногда оказаться равным нулю.

С практической точки зрения недостатком проведенного рассуждения является трудность фактического вычисления коэффициентов . Обычно предпочтительнее находить второе решение , подставив в уравнение (219) выражение (231) для (после нахождения первого решения ). Коэффициенты определяются затем с помощью приравнивания нулю членов, не содержащих .

Замечание. Сходимость ряда доказана нами лишь в некоторой окрестности точки . Более точные рассуждения позволяют установить, что он сходится при . Дело в том, что нули решения - простые (решение, у которого в некоторой точке обращается в нуль как сама функция, так и ее производная, обязано тождественно обращаться в нуль в силу свойства единственности задачи Коши). Поэтому неопределенный интеграл может иметь особенность первого порядка, которые при умножении на "гасятся".