§ 4. Эквивалентность задачи Штурма-Лиувилля интегральному уравнению. Теорема Стеклова

1. Задача Штурма-Лиувилля. Сформулируем задачу Штурма-Лиувилля с перечислением всех сопровождающих требований.

Задача Штурма-Лиувилля (Ш.Л.). Найти те значения параметра , при которых уравнение

( 188 )

имеет нетривиальное решение , удовлетворяющее краевым условиям

( 189 )

Речь идет, конечно, о дважды непрерывно дифференцируемых решениях, т.е. требуется: . Предполагаются выполненными условия регулярности:

при , ( 190 )

Значение параметра , при котором существует нетривиальное решение задачи Ш.Л., называется собственным значением задачи Ш.Л., а решение - собственной функцией задачи Ш.Л., соответствующей собственному значению . Требуется, чтобы значение параметра не являлось собственным числом задачи Ш.Л. Будем именовать это требование условием Т.

Теорема. Пусть выполнены условия регулярности и условие Т, и пусть - функция Грина краевой задачи (177), (178). Тогда задача Штурма-Лиувилля эквивалентна интегральному уравнению

, ( 191 )

т.е. 1) если число является собственным значением задачи Ш.Л. с собственной функцией , то является характеристическим числом интегрального уравнения (191), которому соответствует собственная функция (уравнения (191));

2) если число является характеристическим числом интегрального уравнения (191) с собственной функцией , то и , являются соответствующими друг другу собственным значением и собственной функцией задачи Ш.Л.

Доказательство. 1) В самом деле, если и таковы, что

,

то по теореме Гильберта

.

Следовательно, - характеристическое число, а - соответствующая ему собственная функция интегрального уравнения (191).

2) Пусть, наоборот,

. ( 192 )

Будучи собственной функцией интегрального уравнения (191), функция непрерывна. По теореме Гильберта правая часть тождества (192) представляет собой дважды непрерывно дифференцируемую функцию, удовлетворяющую уравнению при . Учитывая (192), приходим к тождеству

. ( 193 )

Более того, в силу свойств функции Грина правая часть (192) (а, следовательно, и левая), удовлетворяет краевым условиям (178). В итоге

. ( 194 )

Соотношения (193), (194) означают, что и являются соответствующими друг другу собственным числом и собственной функцией задачи Ш.Л. (188), (189), что и требовалось доказать.

2. Правильная задача Штурма-Лиувилля. При выполнении условий регулярности и условия Т говорят о правильной задаче Ш.Л. Ниже идет речь о правильной задаче. Редукция задачи Ш.Л. к интегральному уравнению позволяет получить свойства собственных чисел и собственных функций задачи Ш.Л.

Прежде всего отметим, что

1) Собственные функции задачи Ш.Д. принадлежат классу .

2) Собственные значения задачи Ш.Л. совпадают с характеристическими значениями уравнения (191) с симметричным ядром .

3) Собственные значения задачи Ш.Л. (188), (189) вещественны.

Замечание. Оператор , порожденный дифференциальным выражением и краевыми условиями , рассматривается нами как оператор в и в силу этого его собственные числа и собственные функции вещественны. Свойство 3) следует понимать в том смысле, что если даже рассматривать в , то его собственные числа вещественны (а собственные функции могут быть выбраны вещественными). Это обстоятельство позволяет вести разговор в рамках .

4) Собственные числа задачи Щ.Л. – простые.

Будем рассуждать от противного. Пусть - собственное значение оператора , которому соответствуют две линейно независимые собственные функции . Определитель Вронского

этих функций не обращается в нуль ни в одной точке . Рассмотрим краевые условия

как систему относительно . Ее определитель отличен от нуля, что влечет . Это противоречит условию (190). Следовательно, и не могут быть линейно независимы.

5) Собственные значения задачи Ш.Л., расположенные в порядке неубывания модулей

,

образуют последовательность, расходящуюся к .

Нужно лишь убедиться, что ядро не может быть вырожденным. Если бы оно было вырожденным, то оно представлялось бы через его собственные функции и характеристические числа в виде

.

Это означало бы, что ядро дважды непрерывно дифференцируемо в (поскольку ), что противоречит свойствам функции Грина. Следовательно, ядро невырождено и имеет счетный характеристический спектр.

Теорема (о свойствах собственных чисел задачи Ш.Л.). Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля (при выполнении условий регулярности и условии Т) вещественны, просты и образуют счетное множество с единственной предельной точкой на бесконечности. Они могут быть расположены в порядке неубыания модулей .

При этом .

Замечание. Можно было бы отметить еще, что (это следует из условия Т).

Теорема. Собственные функции задачи Щтурма-Лиувилля (188), (189) совпадают с собственными функциями ядра и ортогональны между собой.

Доказательство очевидно. Отметим, что нормированная собственная функция , соответствующая собственному значению , определяется по существу, однозначно (с точностью до знака ). Условие ортогональности имеет вид

.

Пусть - совокупность всех собственных значений задачи Ш.Л., расположенных в порядке неубывания модулей, а - система соответствующих ортонормированных функций (будем называть ее максимальной ОНС задачи Ш.Л.

Теорема Стеклова. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке и удовлетворяет на концах отрезка условиям

( 195 )

Тогда справедливо разложение в ряд Фурье

,

где - максимальная ОНС задачи (188), (189) и написанный ряд сходится абсолютно и равномерно.

Доказательство. В результате подстановки функции в дифференциальное выражение получится соотношение

, ( 196 )

где - непрерывная на отрезке функция. Поэтому функцию можно рассматривать как решение уравнения (196) при краевых условиях (195). По теореме Гильберта, имеет место представление

,

где - функция Грина оператора .

Таким образом, функция истокообразно представима через ядро . Поэтому она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по максимальной ОНС ядра , т.е. по системе :

. ( 197 )

Теорема доказана.

Замечание. Можно обобщить теорему Стеклова на случай, когда функция , а вторая производная лишь кусочно-непрерывна на .