§ 2. Регулярная краевая задача и задача Штурма-Лиувилля (предварительные сведения)

Основной задачей в теории дифференциальных уравнений является задача Коши. В физических приложениях наряду с задачей Коши важную роль играют так называемые краевые задачи. Приступим к изучению следующей краевой задачи: требуется отыскать решение на отрезке уравнения

, ( 155 )

удовлетворяющее на краях отрезка условиям

. ( 156 )

Замечание. Коэффициенты - произвольные действительные числа с единственным ограничением: и не могут одновременно обращаться в нуль, т.е. (в противном случае краевое условие теряет смысл).

Если , то соответствующая задача

( 157 )

называется краевой задачей с однородными краевыми условиями. Краевую задачу с однородными краевыми условиями удобно записывать в операторной форме

. ( 158)

Здесь - линейный оператор, действующий в :

,

область определения которого состоит из тех дважды непрерывно дифференцируемых на функций , которые удовлетворяют краевым условиям :

.

Ясно, что есть часть ^). На функциях из действие оператора задается формулой

.

Краевая задача (155), (156) называется регулярной, если левая часть уравнения (155) регулярна ( является регулярным дифференциальным выражением) и коэффициенты в (156) удовлетворяют условиям замечания. Про оператор говорят, что он порожден регулярной краевой задачей.

Задача Штурма-Лиувилля. Найти те значения параметра , при которых уравнение

имеет нетривиальное решение , удовлетворяющее краевым условиям

( 160 )

Задача Штурма-Лиувилля в зависимости от значений указанных параметров имеет ту или иную физическую подоплеку, ту или иную специфику. Если , то соответствующие условия

именуется краевыми условиями первого рода; условия

называются краевыми условиями второго рода. Общие условия (160), записанные в виде

,

называются краевыми условиями третьего рода. В более общем случае справа вместо нуля может стоять произвольное число, и тогда говорят о неоднородном краевом условии.

Задачу Штурма-Лиувилля называют также задачей на собственные значения. Краевые условия (160) именуют граничными или предельными условиями (и тогда говорят о граничной или соответственно о предельной задаче).

§ 3. -функция, фундаментальное решение, функция Грина

1. Эвристика. Правая часть уравнения

( 161 )

в физических задачах символизирует силу, действующую на систему, поведение которой описывается решением . Будем называть единичным импульсом, приложенным в точке , «силу» , «сосредоточенную» в точке . Примем за определение -функции равенство при любой непрерывной функции . При этом постулируется равенство .

Пусть нам удалось найти решение уравнения

, ( 162 )

правая часть которого представляет единичный импульс, приложенный в точке . Будем называть такое решение фундаментальным решением уравнения (162). Подставляя в уравнение, умножая обе части полученного тождества на и интегрируя по , придем к тождеству

. ( 163 )

Если справедливо равенство

(т.е. законно дифференцирование под знаком интеграла), то равенство (163) означает, что функция

является решением уравнения (160).

Мы увидим, что фундаментальное решение не единственно. В прочем, это легко понять из общих соображений – единственность решения дифференциального уравнения можно ожидать лишь при наличии дополнительных условий. Если в качестве этих условий взять краевые условия

, ( 164 )

то, вообще говоря, фундаментальное решение определится однозначно. Фундаментальное решение, удовлетворяющее однородным краевым условиям (164), называется функцией Грина задачи (157).

Из уравнения (162) следует, что (при фиксированном ) в промежутках выполняется тождество

.

Обозначим через фундаментальную систему решений на отрезке однородного уравнения

Тогда, очевидно

где - некоторые постоянные (они могут зависеть от ). Ясно, что такая функция или непрерывна при , или, в худшем случае, имеет разрыв первого рода при . Интегрируя равенство (162) в пределах от до , получим

.

Справа стоит выражение, зависящее от , непрерывное всюду, за исключением точки , где оно испытывает разрыв первого рода (с единичным «скачком»). Из написанного равенства вытекает, что сама функция непрерывна при переходе через значение (ее производная терпит разрыв первого рода). Если, наконец, мы «проинтегрируем» уравнение (162) по -окрестности точки , то получим

,

что в пределе при дает соотношение

. ( 165 )

Определение. Фундаментальным решением уравнения

( 166 )

с особенностью в точке называется функция , определенная в квадрате

и обладающая свойствами:

1. непрерывна в .

2. При фиксированном она удовлетворяет уравнению (163) в промежутках и (и, следовательно, дважды непрерывно дифференцируема в этих промежутках).

3. Первая производная функции имеет разрыв первого рода в точке со «скачком» , т.е.

.

Теорема. Уравнение (166) с регулярной левой частью имеет фундаментальное решение.

Доказательство. Регулярность левой части уравнения (166) означает, что

1) при ;

2) .

В этих условиях уравнение (166) имеет на отрезке фундаментальную систему решений . Функция

очевидно, будет обладать свойствами 1 и 2, оговоренными в определении. Ее производная имеет, кроме того, разрыв первого рода при , причем, очевидно,

. ( 167 )

Справа стоит определитель Вронского системы решений вычисленный в точке . Напомним теперь, что определитель Вронского удовлетворяет соотношению

,

где - коэффициент при в соответствующем уравнении (147) ( с коэффициентом при , равным единице). Следовательно,

. ( 168 )

Таким образом, при и можно положить

.

Поделив обе части равенства (167) на , получим

. ( 169 )

Изложенное означает, что функция

( 170 )

удовлетворяет условиям 1, 2, 3 определения фундаментального решения и представляет собой фундаментальное решение уравнения (166) с особенностью в точке . Теорема доказана.

Найденное фундаментальное решение не единственно. Добавляя к нему произвольную линейную комбинацию решений фундаментальной системы

, ( 171 )

снова получим фундаментальное решение.

Теорема. Решение неоднородного уравнения

( 172 )

с регулярной левой частью и непрерывной правой частью ( ) представляется в виде «суперпозиции элементарных решений, т.е.

.

Доказательство. Проводится путем непосредственной проверки, имеем

. ( 173 )

Оба интеграла справа можно дифференцировать по обычным правилам. Производя дифференцирование, получим

( 174 )

(внеинтегральные слагаемые уничтожаются в силу непрерывности ),

( 175 )

Выражение в квадратных скобках вычисляется согласно формуле (170):

.

С учетом (167) и (169) получим окончательно

. ( 176 )

Домножая равенство (173) на , равенство (174) на , равенство (176) на , придем к равенству

.

В силу свойства 2 фундаментального решения окончательно имеем

.

Теорема доказана.

Замечание. Мы видим, что знание фундаментального решения позволяет находить частное решение неоднородного уравнения (172) (раньше мы использовали для этой цели метод вариации постоянных). Общее решение уравнения (172) запишется, конечно, в виде

.

Замечание. Проведенные выше выкладки можно, как уже упоминалось, записать коротко в виде

,

но при этом внесение дифференциальной операции под знак интеграла требует обоснования. Это обоснование и было по существу проведено в упомянутых выкладках.

Замечание. Все сказанное о фундаментальном решении справедливо для любого фундаментального решения вида (171).

2. Функция Грина. Перейдем к формализованному определению и построению функции Грина. Согласно предыдущему разговору, функция Грина – это фундаментальное решение, удовлетворяющее краевым условиям. Определение. Функцией Грина регулярной краевой задачи

, ( 177 )

( 178 )

называется функция , обладающая свойствами:

1. определена и непрерывна в .

2. При любом фиксированном функция удовлетворяет уравнению в промежутках и (и, следовательно, дважды непрерывно дифференцируема там).

3. Производная при любом фиксированном имеет разрыв первого рода, причем

. ( 179 )

4. При произвольно фиксированном функция удовлетворяет краевым условиям (178), т.е.

.

Замечание. Из свойств 1, 2, 3 следует, что функция является фундаментальным решением уравнения с особенностью в точке . Среди прочих элементарных решений выделяется тем, что обладает свойством 4 (удовлетворяет краевым условиям). Функцию будем называть также функцией Грина оператора .

Мы увидим сейчас, что свойствами 1-4 функция Грина определяется полностью и притом однозначно. Будем говорить, что выполнено «условие Т», если полностью однородная краевая задача

не имеет других решений, кроме тривиального. «Условия регулярности» напомним, означают: при , .

Теорема. Функция Грина краевой задачи (177), (178) существует и единственна, если выполнены условия регулярности и условие Т. Функция симметрична: .

Доказательство. Пусть - решение на отрезке задачи Коши

.

Поскольку хотя бы одно из чисел отлично от нуля, не есть тождественный нуль. Очевидно, что функция удовлетворяет краевому условию . Далее, линейно независимы. (Если предположить обратное, то

.

Но тогда удовлетворяет обоим краевым условиям и в силу условия Т должны быть тожественным нулем – пришли к противоречию). Таким образом, мы получили фундаментальную систему решений уравнения такую, что

.

Обозначим через определитель Вронского этой системы и рассмотрим фундаментальное решение

( 180 )

Вдобавок к свойствам 1, 2, 3 оно, очевидно, будет обладать свойством 4. Из полученной формулы явствует и симметрия функции . Осталось доказать единственность.

Допустим, что некоторая функция является функцией Грина оператора (наряду с ). Пусть

.

Зафиксируем произвольно . На основании (179) предельные значения производных

,

совпадают, т.е. у функции производная существует и непрерывна на всем отрезке . Поскольку удовлетворяет по в промежутках и дифференциальному уравнению , то

. ( 181 )

Из сказанного следует, что

,

т.е. производная существует и непрерывна при . Таким образом, соотношение (181) выполняется на всем отрезке и, следовательно, функция удовлетворяет уравнению (как функция при фиксированном ) на всем отрезке . Кроме того, она, очевидно, подчиняется краевым условиям . По условию Т заключаем, что при . В силу непрерывности на всем основном квадрате .

Теорема (теорема Гильберта о существовании и единственности решения краевой задачи). Пусть выполнены условия регулярности и условие Т. Тогда при любой непрерывной на отрезке функция краевая задача

, ( 182 )

( 183 )

имеет единственное решение, выражаемое формулой

, ( 184 )

где - функция Грина оператора .

Доказательство. Ради краткости записи обозначим (см. (180))

.

В этих обозначениях имеем

Ясно, что функция , так же как и , удовлетворяет уравнению и краевому условию (вследствие их однородности). Функция удовлетворяет уравнению и краевому условию по построению. Рассмотрим функцию (184):

( 185 )

Непосредственное дифференцирование дает

( 186 )

Следовательно,

и выполнение краевого условия делается очевидным. Аналогично проверяется краевое условие .

Дифференцируя соотношение (185), получим

( 187 )

Последнее слагаемое совпадает с выражением (см. (175)). Умножая (185) на Б (186) на , (187) на и складывая, придем к тождеству

.

Итак, - решение краевой задачи. Убедимся, что другого решения не может быть. Предположим противное: пусть - другое решение. Тогда разность

удовлетворяет однородному уравнению и однородным краевым условиям и мы вопреки условию Т имеем нетривиальное решение полностью однородной краевой задачи. Пришли к противоречию. Приходится признать, что . Теорема доказана.

Теорему Гильберта полезно переформулировать следующем образом:

Теорема (Гильберта). Пусть выполнены условия регулярности и условие Т. Тогда, какова бы ни была функция , функция , представимая по формуле (184) через функцию Грина оператора , принадлежит классу , удовлетворяет уравнению (182) и краевым условиям (183).