Раздел 3. Линейные дифференциальные уравнения
ВТОРОГО ПОРЯДКА (КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШЕНИЕ
РЯДАМИ, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ)
В настоящем разделе рассматриваются краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка и некоторым сведениям о специальных функциях, возникающих при нахождении их решений. Полное изложение этих вопросов представлено в [ССЫЛКИ].
§ 1. Линейный дифференциальный оператор второго порядка
Пусть задано
дифференциальное выражение (
дифференциальная операция) вида
,
( 146 )
где
- функции, непрерывные в интервале
,
причем
не обращается в нуль при
.
Будем применять эту операцию к функциям
,
дважды непрерывно дифференцируемым на
.
В этом случае будем говорить о линейном
дифференциальном операторе
с областью определения
,
действие которого на элемент
определяется с помощью дифференциального
выражения по формуле
.
Линейность оператора
заключается в линейности множества
и его дистрибутивности и однородности
на этом множестве.
Докажем, что при
совпадает с
.
Рассмотрим уравнение
.
Поделив его на , получим эквивалентное уравнение
,
( 147 )
где
-
непрерывные на
функции. Из общей теории следует, что
уравнение (147) имеет решение из
.
Это и означает, что
(ибо для произвольной функции
из
найдется элемент
такой, что
).
Более того, из упомянутой теории явствует,
что отображение
не является взаимно однозначным. В самом деле, при любых данных Коши
,
уравнение (147) имеет
решение
.
При изменении
решение
будет, вообще говоря, меняться, однако
равенство
будет сохраняться (т.е. различным
«прообразам»
соответствует один и тот же образ
).
С точностью до множителя выражение (146) можно записать в так называемой самосопряженной форме. Перепишем (146) в виде (см. также (147))
( 148 )
и постараемся
подобрать не обращающуюся в нуль функцию
так, чтобы коэффициент при
в квадратных скобках был равен
,
т.е. из условия
.
В качестве можно взять функцию
,
где в скобках
справа стоит некоторая первообразная
.
Мы видим, что
при
,
поэтому выражение (148) эквивалентно
(146). Обозначив
,
( 149 )
перепишем выражение
(146) в виде (где
при
)
.
( 150 )
Выражение
(
151 )
назовем линейным дифференциальным выражением второго порядка в самосопряженной форме, а (150) – линейным дифференциальным выражением в симметризуемой форме. Из проведенных рассуждений видно, что выражение (146) всегда приводится к симметризуемой форме (при оговоренных условиях на коэффициенты).
В дальнейшем приходится различать регулярные и сингулярные дифференциальные выражения (151). Будем считать, что
при
,
(отметим, что эти
условия наследуются из требований,
предъявляемых к коэффициентам
).
Для определенности полагаем, что
при
.
Будучи положительным, коэффициент
может иметь нулевые предельные значения
при
(или же
),
коэффициент
может быть неограничен на
.
Наконец, сам промежуток
может оказаться бесконечным. При
осуществлении хотя бы одной из этих
возможностей
именуется сингулярным
дифференциальным выражением,
а порожденные им дифференциальные
операторы (указанием области определения)
– сингулярными
дифференциальными операторами.
Дадим соответствующее определение.
Предположим, что
интервал
ограничен и что коэффициенты
в выражении (151) могут быть продолжены
по непрерывности на отрезок
.
Обозначим продолженные функции теми
же символами
.
Дифференциальное выражение
будем называть
регулярным на отрезке
,
если
при
(таким образом,
не обращается в нуль ни внутри, ни на
концах отрезка
,
а
ограничена на
).
Регулярный дифференциальный оператор
получается, если регулярное дифференциальное
выражение
действует на функции
из
,
удовлетворяющее определенным краевым
условиям. Область определения
регулярного оператора
принадлежит при этом «объемлющему»
пространству
(и плотна в нем), ему же принадлежит и
область
его значений. Говорят, что
действует из
и определен на
.
Таким образом, здесь область определения
не совпадает со всем пространством.
Оператор
неограничен в
.
Остановимся еще на двух простых фактах, которые будут использоваться в дальнейшем.
По формуле Остроградского-Лиувилля имеем
,
( 152 )
где
- определитель Вронского фундаментальной
системы решений
уравнения
.
Поделив на
,
получим
.
Поскольку слева
стоит производная
,
то интегрирование дает выражение второго
решения через первое:
.
( 153 )
Здесь интегралы
изображают фиксированные первообразные
соответствующих подынтегральных
выражений. Для уравнения
формула (153) упростится:
.
( 154 )
Другой факт содержится в утверждении:
Нетривиальное
решение уравнения
может иметь только простые нули.
Доказательство.
Если бы в некоторой точке
был кратный нуль решения
,
то выполнялось бы равенство
.
Но единственным решением уравнения
с такими начальными данными является
тождественный нуль.