Розділ 14: Числові ряди.
14.1 Необхідна ознака збіжності ряду.
Числовим
рядом називають суму нескінченної
кількості числових доданків і
записують, використовуючи символ суми,
так
(1)
Числа
називають
членами ряду: а1 перший член ряду, а2 -
другий
член ряду,...
-
n-й
або загальний член ряду.
Означення
1. Частковою
сумою числового ряду(1) називають суму
перших
п членів ряду:
Означення
2. Числовий
ряд називають збіжним, якщо існує
скінченна границя послідовності його
часткових сум
при
, тобто
(2)
Якщо
границя часткових сум (2) не існує
або дорівнює
,
то ряд називають розбіжним.
Часто використовують наступні числові ряди:
1.
Гармонічний ряд
. Цей ряд розбіжний;
2.
Ряд геометричної прогресії
з першим членом
та
знаменником q. Цей ряд збігається
при
;
має суму
,
а при
ряд - розбіжний;
З.
Узагальнений гармонічний ряд
Цей ряд збіжний при р>1,а при р
1 - розбіжний.
Необхідна
ознака збіжності ряду
:
Якщо для заданого ряду ця умова не виконується, то цей ряд розбіжний.
14.2. Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів
14.2.2 Ознака Даламбера
Якщо
для додатного числового ряду
існує
(6)
то при D < 1 ряд збігається. а при D > 1 ряд розбігається.
Зауваження 1. Якщо стала Даламбера D = 1 ,то за цією ознакою неможливо визначити збіжності або розбіжності ряду.
Приклад:
Дослідити
збіжність ряду
.
Отже ряд збіжний.
14.2.3. Радикальна ознака Коші.
Якщо
для додатного числового ряду
існує
(7)
то при К < 1 ряд збігається, а при К > 1 ряд розбігається.
Зауваження. Радикальна ознака Коші найчастіше використовується у випадках, коли загальний член ряду містить n в основі та в показнику степеня.
Приклад:
Дослідити збіжність ряду
Розв’язання. Знайдемо сталу Коші:
За радикальною ознакою Коші заданий ряд збігається.
14.2.4 Інтегральна ознака Коші.
Нехай
треба дослідити збіжність ряду
де
.Розглянемо
невластивий інтеграл
в якому підінтегральна функція одержана
шляхом заміни аргумента n
на аргумент х в функції f(n).
Якщо невластивий інтеграл збігається, то числовий ряд також збігається. Якщо невластивий інтеграл розбігається, то числовий ряд також розбіжний.
Приклад: Дослідити збіжність ряду
Розглянемо
невластивий інтеграл
Отже, невластивий інтеграл та заданий ряд збіжні при р>1
і розбіжні при р 1.
14.4 Знакозмінні числові ряди
Означення: Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченну кількість як додатних, так і від’ємних членів. Ряд, члени якого по черзі мають додатний та від’ємний знаки, називають знакопочережним.
14.4.1 Поняття абсолютної та умовної збіжності ряду.
Означення: Знакозмінний ряд називають абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.
Означення: Знакозмінний ряд називають умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.
Ознака Лейбніца: Якщо абсолютні величини членів знакопочережного ряду монотонно спадають і границя абсолютної величини загального члена ряду дорівнює нулю при n -> ∞, то ряд збігається, причому його сума S не перевищує першого члена ряду.
Цю ознаку можна записати так:
