13.4. Оператори Гамільтона та Лапласа.
13.4.1. Оператор Гамільтона та його застосування.
Оператором Гамільтона називають символічний векторно-диференціальний оператор, який позначають знаком ∇ (набла) і визначають в декартовій системі координат рівністю
Основні правила застосування оператора
1)Оператор ∇ діє на величини, які стоять за ним, і не діє на величини, які стоять перед ним.
Так,
в запису
оператор
∇
діє на
і не діє на
.
Іноді,
щоб вказати величину, на яку не діє
оператор ∇,
у цій величини ставиться індекс, що
вказує на необхідність розглядати цю
величину як сталу. Наприклад, в запису
слід розуміти, що
на
не діє, а на
діє.
2)Добуток оператора ∇ на суму двох функцій обчислюють за формулою
3) Скалярний добуток оператора ∇ на суму двох векторів обчислюють за формулою
4) Векторний добуток оператора ∇ на суму двох векторів обчислюють за формулою
5) Добуток оператора на скалярну функцію дорівнює градієнту функції
Через
скалярний та векторний добутки векторів
та
можна виразити характеристики векторного
поля
та
Маємо:
Отже,
1)для
знаходження градієнта скалярного поля
потрібно оператор
помножити
на функцію
;
2)
для знаходження дивергенції вектора
потрібно оператор
скалярно помножити на вектор
;
3)для знаходження вихору вектора потрібно оператор векторно помножити на вектор .
Процес
знаходження характеристик
,
,
називають
операціями першого порядку
теорії поля.
Для пояснення техніки використання оператора згадаємо правило диференціювання добутку двох функцій
(1)
Перший
доданок правої частини отримується,
якщо диференціювати добуток
,
вважаючи v
сталою, а другий доданок - якщо при
диференціюванні добутку
вважати множник u
сталим.
Тому формулу (1) можна розуміти так:
Коли диференціювання закінчено індекс “c” у відповідних величин можна зняти.
Аналогічним чином доцільно поступати при обчисленні результату дії оператора ’’набла” на добуток двох функцій або функції та вектора або добутку двох векторів.
Приклад
Приклад
Приклад
Враховуючи властивість векторного добутку
одержуємо:
Приклад
Доданки
правої частини цієї рівності є мішаними
добутками трьох векторів
,
та
. Якщо в мішаному добутку поміняти
місцями два поряд записаних множника,
то добуток змінює знак. Тому
Отже,
13.4.2. Оператор Лапласа
Оператор
називається оператором Лапласа і
найчастіше позначається символом ∆.
Оператор Лапласа
значно спрощує запис диференціальних виразів і тому використовується досить часто, причому не тільки в декартових координатах, а і в циліндричних або сферичних координатах. Циліндричні координати виражаються через декартові координати за формулами:
Вираз у циліндричних координатах:
13.4.3. Диференціальні операції другого порядку теорії поля.
Застосування диференціальних операцій першого порядку до диференціальних операцій першого порядку теорії поля називають операціями другого порядку.
В теорії поля існує три операції першого порядку:
- векторна величина;
- скалярна величина;
- векторна величина.
Оскільки до скалярного поля можна застосувати лише операцію знаходження градієнта, то до можна застосувати лише операцію першого порядку й одержати
До кожної векторної величини та можна застосувати дві операції першого порядку: дивергенцію та вихор. Одержимо:
оскільки векторний добуток двох рівних векторів дорівнює 0.
