7 Вихор векторного поля є вектором, який характеризує поверхневу щільність циркуляції, позначають rot , визначають формулою:

Останню формулу можна записати у більш прийнятному для використання вигляді: (10)

Приклад. Знайти векторні лінії, дивергенцію та вихор поля

Розв'язання. Для знаходження рівнянь, векторних ліній заданого поля треба знайти розв'язки системи диференціальних рівнянь (5), які приймають вид:

Інтегруючи рівняння першого порядку з відокремленими змінними отримаємо сукупність ліній:

Відмітимо, що початок координат є особливою точкою для заданого поля, оскільки при і маємо .

Дивергенцію поля знаходимо за формулою (7):

Вихорь векторного поля знайдемо за формулою (10):

13.2. Обчислення криволінійних та поверхневих інтегралів другого роду

13.2.1. Знаходження криволінійних інтегралів

Обчислення криволінійних інтегралів другого роду (по орієнтовному контуру) зводиться до обчислення визначеного інтеграла. Нехай контур інтегрування – дуга AB є просторовою кривою вектор-функції:

Тоді маємо

За ф-лою (11) криволінійний інтеграл 2 роду зводиться до криволінійного інтеграла 1 роду, який, як відомо, зводиться до визначеного інт. – інтегрування ведеться від т. А до т. B.

Нехай дуга АВ задана параметрично:

Якщо дуга AB плоска і задана явним рівнянням у=f(x),а<х<b, то отримаємо:

Приклад 1. Обчислити криволінійний інтеграл від вектор-функції а(М)=3х²у +3хy² вздовж дуги AB кола х²+у²=а² яка знаходиться у 1 квадранті.

Дуга AB в параметричній формі:

За ф-лою (12):

Приклад 2. Обчислити криволінійний інтеграл від вектор-функції а(М)=х³у +2(х² –у²) вздовж кривої у=х² від точки A(1,1) до точки B(2,4).

За ф-лою (13):

Основна особливість криволінійних інтегралів другого роду полягає в їх залежності від орієнтування контуру інтегрування, оскільки:

13.2.2. Знаходження поверхневих інтегралів другого роду

За означенням вказаних інтегралів маємо:

де – одиничний вектор нормалі до поверхні S.

Нехай

Тоді, використовуючи формулу скалярного добутку двох векторів у координатній формі, отримаємо:

Нехай поверхня S задана рівнянням z=f(x,y) і D–проекція цієї поверхні на площину х0y. Тоді напрямні косинуси нормалі до поверхні S в точці М(x,y,z) знаходять за формулами:

де p=z´_x, q=z´_y

Обчислення поверхневого інтеграла 2 роду зведено до обчислення подвійного:

Верхній знак береться тоді, коли напрямок нормалі n утворює з віссю Оz гострий кут.

Приклад. Обчислити потік векторного поля (М) через верхню сторону нижньої півсфери x² + у² + z² =1.

Розв’язання. Потік П векторного поля через поверхню S знаходимо за формулою:

Рівнянням нижньої півсфери буде ,її проекцією на площину хОу буде круг D: x² + у²≤1.

Оскільки поверхня інтегрування Б є верхньою стороною нижньої півсфери, то нормаль (М) напрямлена так, як вказано на мал. 2, тобто є внутрішньою. Диференціюванням функції знайдемо

Використовуючи формулу (18), отримаємо:

Переходом до полярних координат D: x=ρcosϕ, y=ρsinϕ , 0≤ρ≤1, 0≤ϕ≤2π,

враховуючи dxdy = ρdρdcϕ, одержуємо