Розділ 13: Теорія поля

13.1. Визначення полів та їх характеристики

Теорія поля є важливим і перспективним розділом вищої математики, оскільки на кожну людину впливає космічне поле, поле тяжіння Землі, електричні та магнітні поля, біополя.

Означення 1. Фізичним полем називають частину простору або весь простір, в якому здійснюється фізичне явище.

Якщо деяка фізична величина в кожній точці області приймає певне значення, то тим самим задається поле цієї величини.

Означення 2. Якщо фізична величина в кожній точці області приймає певне числове значення, то поле називають скалярним.

Скалярне поле величини u в області D можна задати у вигляді скалярної функції.

и = и(М), , областю визначення якої ).

Означення 3. Якщо фізична величина в кожній точці області приймає векторне значення, то ії поле називають векторним.

Векторне поле в області £) задається вектор-функцією

,

Якщо D , то положення точки М визначається кординатами x, y, z. Тому скалярне поле задається скалярною функцією трьох змінних.

u=u(x,y,z)

Векторне поле в тривимірному просторі визначається

тобто трьома скалярними функціями-проекціями на відповідні осі координат.

Векторне поле називають плоским, якщо його можна задати у вигляд

Основні характеристики скалярного поля:

1. Поверхні (лінії) рівня визначають точки в яких функція приймає однакове значення. Поверхні рівня скалярного поля u=u(x, y, z) визначають рівнянням

u=u(x, y, z)= c (1)

Лінії рівня поля и = и( х, у) визначають рівнянням u=u(x, y). (1`)

2. Похідна за напрямом І характеризує швидкість зміни поля в напрямку вектора , її знаходять за формулою

(2)

де — напрямні косинуси

3. Градієнт скалярного поля и = и (х, у, і) визначає напрям та величину найбільшої зміни поля в точці М (х, у, z). Градієнт знаходять за формулою:

, (3)

а величина найбільшої швидкості зміни поля знаходиться за формулою:

Напрям вектора gradu співпадає з напрямом нормалі до поверхні u (x, y, z) = c в точці M, оскільки (4)

Характеристики векторного поля

1. Векторною лінією називають лінію, в кожній точці якої дотична співпадає з напрямом .

Якщо координати векторного поля неперервні разом із своїми похідними першого порядку в точці , то через точку проходить лише одна векторна лінія.

Рівняннями векторних ліній будуть розв'язки диференціальних рівнянь:

(5)

2 Особливі точки векторного поля . Точку називають особливою точкою поля , якщо = 0 або хоч би одна з проекцій цього поля має розрив в точці .

Найчастіше фізичні векторні поля мають неперевні проекції, а їх особливими точками є точки, де = 0 і які називають точками спокою.

Точки спокою класифікують в залежності від виду векторних ліній в околі цих точок.

3. Потік векторного поля через поверхню S характеризує різницю П = , де — кількість векторних ліній поля, як проходять через поверхню S і мають однаковий напрям з нормаллю до цієї поверхні, а — кількість векторних ліній поля, які мають протилежний напрям.

Потік векторного поля через поверхню S визначають поверхневим інтегралом другого роду за формулою:

(6)

де , — нормаль до поверхні S в точці М.

3. Дивергенція (розходження) векторного поля характеризує щільність потока поля через замкнену по­верхню S в точці М, яка знаходиться в області, що обмежена S.

Дивергенцію векторного поля обчислюють за формулою:

(7)

Точки М, в яких , називають джерелами векторного поля. Точки М, в яких , називають точками стоку (стікання).

5 Роботу Р змінної сили при переміщенні точки визначають криволінійним інтегралом другого роду за формулою: (8)

6. Циркуляція С векторного поля характеризує обертальну спроможність поля і її знаходять з використанням криволінійного інтеграла другого роду за формулою:

(9)

де L — деякий замкнений контур, — диференціал радіус-вектора точки