12.5.2. Заміна змінних в потрійному інтегралі

Нехай система функцій

здійснює взаємно-однозначне відображення області V в системі координат (x,y,z) в область V₁ в системі координат . Тоді перехід від змінних x,y,z до в потрійному інтегралі здійснюються за формулою:

де - якобіан перетворення елемента об’єму області причому,

У випадку переходу до циліндричних координат

якобіан

У випадку переходу до сферичних координат:

якобіан

Приклад. Обчислити об’єм області, обмеженої еліпсоїдом

Розв’язання. Знаходження об’єму v заданої області V за формулою:

вимагає обчислити потрійний інтеграл.

Зробимо заміну змінних:

В цієї узагальненої сферичної системі координат рівняння еліпсоїда має вигляд r = 1.

Тому область інтегрування V₁ визначається системою нерівностей:

Якобіан переходу буде Отже одержимо,

12.6 Невластиві інтеграли по області

12.6.1 Основні поняття

Інтеграли по області називають невластивими, якщо область інтегрування D необмежена або підінтегральна функція f(М) необмежена в деяких точках М області інтегрування. Невластиві інтеграли по області можуть бути збіжними або розбіжними.

Випадок нескінченної області. Якщо функція f(М) неперервна в нескінченій області D, то розглядають

(1)

Де - обмежена область така, що і , тобто розширюється за довільним законом і містить довільну точку область D.

Якщо границя правої частини рівності (1) існує і не залежить від вибору області , то відповідний невластивий інтеграл по області D називається збіжним. Якщо ця границя не існує або дорівнює нескінченності, то невластивий інтеграл називають розбіжним.

Якщо підінтегральна функція f(М) невід’ємна в області D, то для збіжності невластивого інтеграла необхідно і достатньо, щоб границя правої частини рівності (1) існувала хоча би для одного вибору областей .

Випадок розривної (необмеженої) функції. Якщо функція f(М) неперервна в замкненій обмеженої області D за виключенням

(2)

точки , то розглядають

де - область, яка одержується із області Б шляхом видалення області діаметром є, яка містить точку .

Якщо границя правої частини (2) існує і не залежить від виду видалених областей діаметром є, то відповідний невластивий інтеграл називається збіжним, в протилежному випадку - розбіжним.

Якщо , то границя в (2) не залежить від виду видаленої області. В цьому випадку найчастіше видаляють окіл радіуса є точки .

Якщо в області інтегрування підінтегральна функція має розриви другого роду (стає необмеженою) на деякій лінії L або поверхні D, то ця особливість видаляється із області інтегрування, а потім видалена частина стягується до особливості.

Приклад. Дослідити збіжність інтеграла

, де область D - площина хОу.

Розв’язування. Заданий інтеграл є невластивим подвійним інтегралом по необмеженій області D, підінтегральна функція невід’ємна. Позначимо через - круг радіуса R з центром в початку координат. Тоді рівність (1) прийме вигляд:

Обчислимо подвійний інтеграл по області переходом до полярної системи координат:

Отже,

Відповідь: невластивий інтеграл - збіжний і дорівнює