12.3.2. Заміна змінних в подвійному інтегралі

При заміні змінних : x = φ (u,v), y = ψ (u,v) область D площини xOy відображається в область G площини uOv; елемент площини dxdy відобразиться в елемент площі

| I(u,v) |dudv , де визначник називають функціональним визначником або якобіантом, а його модуль називають коефіцієнтом спотворення області. Отже, якщо функції φ (u,v) та ψ (u,v) неперервні в області G разом із своїми частинними похідними першого порядку, то має місце рівність: Часто для обчислення подвійних інтегралів використовують полярні координати: x = rcos , y = rsinφ . Тоді якобіан переходу I(r, φ)=r, а елемент площі dxdy = rdrdφ.

Перехід в подвійному інтегралі до полярних координат доцільно використовувати в тих випадках, коли підінтегральна функція залежить від x²+y² або від arctg(y/x), а також у випадках, коли межа області містить дуги кіл та промені ,що виходять із початку координат.

Приклад: Обчислити інтеграл по чверті кільця що лежить в першому квадранті.

Розвязання: Область інтегрування D зобразимо на малюнку:

Підставимо в нерівність замість x та y їх значення

x = rcos , y = rsinφ . Одержимо: Оскільки кільце лежить

в першому квадранті ,то Отже:

12.4. Обчислення поверхневих інтегралів і-го роду

Поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу

Я кщо S – незамкнена поверхня, яка задається рівнянням z = q(x,y), а область D- проекція цієї поверхні на площину хОу, тоді

Я кщо поверхня S – замкнена, тоді її розбивають на дві незамкнені так, щоб обидві вони проектувалися на одну область D площини xOy. Якщо рівнянням поверхні а рівнянням поверхні тоді

П риклад 1 Обчислити де S – частина площини х+у+z = 1, яка лежить в першому октанті(мал.5)

Розвязання В даному випадку рівнянням поверхні S буде z = 1-x-y, її проекцію – областю D буде прямокутний трикутник обмежений лініями: х=0, y=0, x+y=1

П оверхня S – незамкнена, тому за формулою(1) одержимо

Приклад 2 Обчислити площу поверхні еліпсоїда обертання

Р озв'язання Згідно властивості інтеграла по області д де S є поверхня еліпсоїда , яку можна розбити на дві частини

П роекцію цих поверхонь на площину хОу буде круг D, який визначається системою рівнянь

Використовуючи симетрію еліпсоїда отримуємо

Оскільки

То

П ерейдемо до полярних координат в подвійному інтегралі

Тому

12.5 Обчислення потрійних інтегралів

12.5.1 Основні поняття

Н ехай V – деяка просторова область замкнута поверхнею S,область V- назив. правильною за напрямом осі Oz, якщо:

1. Будь-яка пряма паралельна осі Oz перетинає поверхню S не більше ніж в двох точках

2. Вся область V проектується на площину хОу в правильну двовимірну область D.

Область V правильна за напрямком всіх трьох координатних осей назив. правильною.

Я кщо тривимірна область правильна, то обмежуючу її поверхню S можна розбити на 2 частини

О бидві ці площини проектуються на площину хОу в правильну область D, межа якої точками а і в поділяється на 2 криві з рівняннями

П означимо довільну точку області V як M(x,y,z), а її проекцію на площину хОу - N(x,y,0). При фіксованих х та у апліката z точки M, що знаходиться внутрі області області V може змінюватися від до Якщо точка N пересувається всередині області D , а її координати мають задовольняти

Т ому аналітичний опис області V буде такий:

Отже, аналітичний опис області V виглядає так: межі зовнішнього інтегралу – сталі, межі середнього інтегралу – можуть залежати від змінної інтегрування зовнішнього інтегралу(х), межі внутрішнього інтегралу – можуть залежати від інтегрування середнього та зовнішнього інтегралів (х,у)

В цьому випадку обчислення потрійного інтегралу обчислюється шляхом послідовного обчислення інтегралів меншої кратності за формулою:

Також використовують ще такі формули:

П риклад 1. Обчислити , де область V обмежена поверхнею обертання кривої

навколо осі Oz і площиною .

Р озв’язання. Щоб одержати рівняння поверхні обертання заданої лінії навколо осі Oz, залишимо змінну z в рівнянні лінії без зміни, а у замінимо на .

Одержимо: - рівняння параболоїда обертання.

Проекцією області V на площину xOy буде круг

Застосуємо формулу:

де D_z є перетин області V площиною, яка перпендикулярна до осі Oz і лежить на висоті z, причому

П еретин D_z буде кругом радіусом , що випливає із рівняння поверхні обертання .

Внутрішній інтеграл оскільки він дорівнює площі круга. Отже,

П риклад 2. Обчислити інтеграл якщо область V обмежена поверхнями

Розв’язання. Область інтегрування V зобразимо на мал. 7.

Визначимо аналітичний опис заданої області V.

Для визначення меж змінної z проведемо через область V пряму,

яка паралельна осі Oz.

Тоді одержимо: .

Для опису області D виберемо сталі межі зміни x:

Тоді у буде змінюватись в межах:

Отже, область V має аналітичний опис: