Розділ 20: Операційне числення

Головний сенс операційного числення полягає в відображенні функції дійсної змінної f за допомогою перетворення Лапласа в функцію комплексної змінної F: де: де f – оригінал; F – відображення; L – відображення Лапласа. Також можливим є зворотнє відображення з функції комплексної змінної F до функції дійсної змінної f:

О.: Оригіналом називають функцію f(t), що задовольняє умови: f(t) визначена для усіх неперервна; f(t)=0 при t<0; існують такі числа M та , що

О.: Зображенням Лапласа оригіналу називають функцію F(p) комплексної змінної , яку визначають за формулою:

Теорема 1: Для будь-якого оригіналу f(t) зображення F(p) визначено і є аналітичною функцією в півплощині .

Одинична функція Хевісайда: .

Властивості зображень Лапласа. 1) Теорема про лінійність: якщо 2) Теорема зміщення: якщо

3) Теорема подібності: якщо , то для довільного :

4) Теорема запізнення: якщо , і , то

5) Теорема про диференціювання оригіналу: якщо f(t) n раз неперервно диференційована на і функції є оригіналами, то із відповідності випливає: → →

6) Теорема про диференціювання зображення: якщо , то тобто диференціювання зображення призводить до множення оригіналу на (-t).

7) Теорема про інтегрування оригіналу: якщо , то

тобто інтегрування оригіналу в межах від 0 до t відповідає діленню зображення на p.

О.: Згорткою функції f(t) та ϕ(t) називається функція, яка визначається рівністю:

8) Теорема множення зображень: якщо

тобто зображення згортки дорівнює добутку зображень функцій, що згортаються.

Визначення оригіналу за його зображенням Лапласа:

Теорема: Якщо F(p) аналітична в усій комплексній площині, за виключенням скінченної кількості особливих точок a_k і , тоді для усіх t>0 оригінал зображення F(p) знаходять за формулою: Також можна використати Теорему (друга теорема розкладу Хевісайда): Якщо зображення -правильний нескоротний раціональний дріб, оригінал f(t) визначають за формулою:

Якщо усі нулі многочлену прості,то

Приклад 1: Умова: Завдання: За допомогою операційного числення знайти частинний розв’язок диференціального рівняння за заданою початковою умовою. Розв’язання: Використовуючи теорему лінійності та таблицю перетворень Лапласа відобразимо ліву частину рівняння:

. Підставимо початкові умови і отримаємо:

Маємо: . Відображуємо праву частину рівняння: . Маємо: . Перенесемо члени, які не мають F(p) в праву частину: Винесемо в лівій частині F(p) за дужки, а в правій зведемо вираз під загальний знаменник: . Многочлен в лівій частині рівняння слід розкласти на множники (якщо це можливо): ; → → ;

Таким чином: . Розділимо обидві частини рівняння на :

Операційний розв’язок виражений через один дріб. Далі використаймо метод невизначених коефіцієнтів, щоб операційний розв’язок рівняння розкласти на суму елементарних дробів. ; . Прирівнюємо коефіцієнти та розв’язуємо систему:

Тепер отримали операційний розв’язок в розкладеному вигляді: Останній етап – перехід від зображення за допомогою перетворення Лапласа до оригіналу. ; ; . Маємо:

Відповідь: частинний розв’язок:

Приклад 2 (з використанням теореми згорток): ; ; ; ; ;

; ; ;

Відповідь:

Таблиця оригіналів і зображень