Розділ 19: Рівняння математичної фізики. Класифікація диференціальних рівнянь другого порядку з частинними похідними

19.1. Поняття диференціального рівняння з частинними похідними

О.: Рівняння, яке зв’язує змінні x₁ x₂ ,..., x_n, невідому функцію u(x₁ x₂ ,..., x_n )і частинні похідні цієї функції називають диференціальним рівнянням з частинними похідними: (1)

О.: Порядок старшої (вищої) похідної, яка входить в рівняння (1) називають порядком диференціального рівняння з частинними похідними.

О.: Рівняння з частинними похідними називається квазілінійним, якщо воно лінійне відносно всіх старших похідних від невідомої функції. Так, наприклад, рівняння:

(2) є квазілінійним рівнянням другого порядку.

О.: Диференціальне рівняння з частинними похідними називається лінійним, якщо воно лінійне відносно невідомої функції і всіх її частинних похідних. Так, наприклад, рівняння: (3) є лінійним рівнянням другого порядку.

О.: Якщо в рівняння (3) f(x₁ x₂ ,..., x_n )=0, тоді його називають однорідним.

О.: Якщо коефіцієнти a_ij, b_i, c - сталі, то рівняння (3) називається лінійним диференціальним рівнянням з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами.

О.: Розв’язком диференціального рівняння з частинними похідними (1) називається будь-яка функція u(x₁ x₂ ,..., x_n ), яка будучи підставлена в рівняння замість невідомої функції, перетворює це рівняння на тотожність відносно незалежних змінних.

19.2. Класифікація лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними

Усе різноманіття лінійних (а також квазілінійних) рівнянь можна поділити на три класи. В кожному класі є найпростіші рівняння, які називають канонічними. Розв’язки рівнянь одного і того самого типу мають багато спільних властивостей. Для вивчення цих властивостей досить розглянути канонічні рівняння, оскільки інші рівняння даного класу можуть бути зведені до канонічного вигляду. Належність рівняння до того чи іншого класу – класифікація рівнянь – визначається коефіцієнтами при старших похідних. Наведемо класифікацію лінійних (квазілінійних) рівнянь другого порядку, в яких шукана функція u залежить від двох змінних u= u(x, y). У цьому випадку квазілінійне рівняння можна записати у вигляді (4)

а лінійне – у вигляді (5) У залежності від знаку дискримінанта рівняння (4), а також (5) можуть належати до трьох типів: 1) якщо в деякій області D дискримінант додатний ( , то рівняння (4) та (5) належать до гіперболічного типу в області D; 2) якщо в деякій області D дискримінант ( , то рівняння (4) та (5) належать до параболічного типу в області D; 3) якщо в деякій області D дискримінант ( , то рівняння (4) та (5) належать до еліптичного типу в області D;

19.3. Зведення до канонічного вигляду диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними

Раніше було вказано, що в кожному класі є найпростіші рівняння, які називають канонічними. Виникає питання: як добрати нові змінні ξ і η так, щоб перетворені рівняння (4) і (5) набули канонічного вигляду. Виявляється, що ця задача зв’язана із розв’язанням такого звичайного диференціального рівняння: Це рівняння називають характеристичним рівнянням для вихідного диференціального рівняння з частинними похідними (4) або (5), а його інтеграли – характеристиками. Рівняння характеристик має два загальних інтеграли: . Зробивши заміну змінних за формулами , отримаємо канонічний вигляд даного диференціального рівняння. При цьому, якщо рівняння (4) належить до гіперболічного типу, то його канонічний вигляд буде якщо рівняння (4) належить до еліптичного типу, то – якщо рівняння (4) належить до параболічного типу, то –

Приклад 1: Встановити тип диференціального рівняння:

Розв’язання. У цьому рівнянні , тому Отже, маємо рівняння параболічного типу.

Приклад 2: Установити тип і звести до канонічного вигляду рівняння

Розв’язання. Для визначення типу рівняння складемо дискримінант. У даному рівнянні a₁₁=x², a₁₂=0, a₂₂=-y², . Отже, рівняння належить до гіперболічного типу. Зведемо його до канонічного вигляду. Характеристичне рівняння має вигляд Його загальні інтеграли xy=C₁ і . Введемо нові змінні: . Тоді:

Підставляючи у вихідне рівняння знайдені похідні, отримаємо його канонічний вигляд: