18.8 Обчислення інтегралів з використанням лишків

Основна теорема про лишки: Якщо f(z) неперервна на межі С області D і аналітична всередині цієї області за виключенням ізольованих точок а1,а2,...,аn, тоді

Обчислення невластивих інтегралів за допомогою лишків:

Лема Жордана: якщо функція f(z) у верхній півплощині(Imz>0) прямує до нуля рівномірно відносно argz при |z|-> , то для будь-якого додатного числа р:

Теорема: якщо f(z) аналітична у верхній півплощині за виключенням скінченної кількості точок a1, a2, ..,an i max|f(z)|->0 при |z|-> , тоді для довільного p>0:

Приклад: обчислити інтеграл

Функція аналітична у верхній півплощині за виключенням точки

z₁=-2+2i ,задовольняє усім умовам теореми, тому:

Знайдемо потрібний лишок відносно полюса першого порядку:

Отже, візьмемо уявну частину виразу: .

18.10. Поняття конформного відображення.

Функція комплексної змінної здійснює відображення множини точок М z площини (області визначення f(z) ). Якщо множина точок z - площини переходить в множину точок w — площини, то кажуть, що множина є образом множини при відображенні

Нехай аналітична в точці , , . З’ясуємо геометричний зміст чисел r та α. Проведемо через точку дотичну. Якщо крива λ задана параметричним рівнянням

і то напрям дотичної до λ в точці задається вектором або комплексним числом .

Функція переводить криву λ в деяку криву λ1 через w - площині з параметричним рівнянням , яка проходить через точку Напрям дотичної до λ1 в точці задається комплексним числом Маємо звідси випливає: аргумент а похідної дорівнює куту, на який повертається дотична до усіх кривих в точці при відображенні Зокрема, якщо дві криві λ та λ1 що проходять через точку мають між собою кут ϕ то кут між їх образами і на w- площині також дорівнює ϕ причому збігається напрям відліку.

Маємо: . Величина вказує величину розтягування проміжку при відображенні тому називають коефіцієнтом розтягування в точці . Оскільки границя не залежить від напрямку то коефіцієнт розтягування r однаковий за усіма напрямами, що виходять з точки -лінійної функції. Нехай задані три точки на z-площині і три: ?

Означення. Відображення z площини (або частини цієї площини) в w площину, яке задовольняє умовам: зберігає кути і напрямки їх відліку; розтягує однаково (в малому околі) за усіма напрямками, називають конформним відображенням. Отже, відображення, яке здійснюється аналітичною функцією з відмінною від нуля похідною, є конформним відображенням. В багатьох застосуваннях функцій комплексної змінної потрібно знаходити функцію , яка задовольняє конформне та взаємнооднозначне відображення заданої на z-площині області D на її образ - область D1 w- площини. При цьому дуже важливим є наступне правило: Нехай знайдено конформне відображення при якому межа дй області δD переходить в межу області . Якщо при переміщенні точки z по межі δD в додатному напрямку відносно області D(область D залишається зліва від межі) її образ w переміщується по межі в додатному напрямку відносно області , тоді область D переходить в області при цьому відображенні. Часто використовуються наступні твердження:

1)дробово-лінійна функція де - комплексні сталі , переводить будь-яке коло в коло або пряму-також в коло або пряму. Цю властивість називають круговою властивістю дробово точки , на w площині. Тоді існує єдина дробово-лінійна функція, яка переводить відповідно в і визначається формулою: .