Розділ 12: Кратні інтеграли

12.1. Інтеграли по області, їх властивості, різновиди.

Нехай в замкненій області D задана ф-ція f(M), M ϵ D. Область D довільним чином розіб‘ємо на n частин і в кожній частині візьмемо довільну точку: . – мыра частини D_i , а λ – max діаметр частин , тобто λ= maxd_i. Інтеграл по області визнач. як границя інтегр. суми за ф-лою: (1) Якщо інтеграл існує, то ця ф-ція зветься інтегрованою по області D. Достатньою умовою інтегрованості ф-ції в замкненій області D є її неперервність в цій області.

Основні властивості інтеграла по області: 1) якщо область D розбити на 2 області D₁ і D₂ без спільних внутрішніх точок, тоді: 2) сталий множник можна виносити за знак інтегралу 3) 4) якщо f(M) у довільній точці M D , то виконується рівність: 5) оцінка інтеграла по області: якщо , то Інтегралам по області надають спец. назви і позначають в залежності від типу області: 1) якщо область інтегрування D – відрізок [a,b], то отримаємо визначений інтеграл: 2) якщо область інтегрування – дуга АВ, кривої L, то інтегрування назив. криволінійним інтнгралом І роду і познач.:

3) якщо областю інтегрування буде деяка поверхня S, то інтеграл називають поверхневим інтегралом І роду або подвійним інтегралом і познач.:

4) інтеграл по просторовій області V називають потрійним інтегралом і позначають так:

5) існують ще криволінійні та поверхневі інтеграли другого роду, які є різновидами інтегралу по орієнтованій області від вектор-функції, які познач.: , де – нормаль до поверхні S. Криволінійний інтеграл ІІ роду змінює свій знак при зміні напряму інтегрування:

12.2 Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

Якщо дуга АВ лежить в площині хОу і задана параметрично , , , тоді

Криволінійний інтеграл 1го роду обчислюють за формулою:

Якщо дуга АВ лежить в площині хОу і задана виразом у = у(х), а<х<в, тоді

Якщо дуга АВ є просторовою і задана параметрично x = x(t), y = y(t), z = z(t), t_A<t<t_B, тоді

Інтеграл обчислюють за формулою:

Приклад: Знайти інтеграл  , де C − крива, задана рівнянням 

Розв’язання:

Використовуємо формулу:

      

Тут      

Отже,

      

12.3.1 Обчислення подвійних інтегралів

Якщо область D на площині xOy правильна в напрямку осі Оy , то її аналітично можна описати нерівностями виду і подвійний інтеграл зводиться до повторного зв формулою:

Якщо область D на площині xOy правильна в напрямку осі Оx ,то її аналітично можна описати нерівностями виду: і подвійний інтеграл до поіторного за формулою:

Якщо область D на площині xOy правильна в напрямі осі Оy і в напрямі осі Оx , тоді мають місце рівності: які означають ,що подвійний інтеграл в цьому випадку можна обчислити за формулою (2) або (4).

Для обчислення повторного інтеграла треба спочатку за формулою Ньютона-Лейбніца знайти внутрішній інтеграл за відповідною змінною інтегрування, а потім обчислити зовнішній інтеграл за іншою змінною інтегрування.

Приклад: Обчислити якщо область обмежена лініями y=x, y=x+2,y=0.

Розвязання : З умов прикладу маємо: x₁(y)=y, x₂(y)=2-y, y ϵ [0,1] . Тому за формулою: