18.3.2 Аналітичність функції

О.1: Якщо однозначна функція f(z) диференційовна в точці z і в деякому її околі, то її називають аналітичною в точці z. Однозначну функцію f(z), диференційовну в усіх точках , називають аналітичною в області D.

О.2: Точку , в якій однозначна функція f(z) аналітична, називають правильною точкою функції f(z); в протилежному разі – особливою точкою.

Функція f(z) аналітична в точці , якщо функція аналітична в точці .

Приклад 1: Визначити область аналітичності функції:

Розв’язок: Перевіримо виконання умов Коші-Рімана:

Оскільки , перша умова Коші-Рімана не виконується. Тому функція не аналітична.

Властивості аналітичних функцій:

1. Сума, різниця, добуток та частка двох аналітичних функцій, а також складна функція, утворена із двох аналітичних функцій, є аналітичними функціями;

2. Якщо функція є аналітичною в області D, то її дійсна та уявна частини є спряженими гармонічними функціями в області D, тобто вони задовольняють рівнянням Лапласа і зв’язані умовами Коші-Рімана.

Приклад 2: Визначити функцію f(z), якщо

Розв’язок: В даному випадку система має вигляд

З першого рівняння одержимо рівність: довільна функція у. Продиференціюємо останню рівність по у: Порівняння цієї рівності із другим рівнянням системи дає Таким чином, Отже,

де с₁=іс – довільна стала.

18.3.3 Електростатичний смисл аналітичної функції

Нехай в області D на площині задано електростатичне поле (поле вектора напруженості) Потенціалом поля називають функцію , яка задовольняє умовам

Якщо область D не має зарядів, тоді в усіх точках D

тобто потенціал є гармонічною функцією в області D.

О.1: Функцію комплексної змінної , де - гармонічна функція, спряжена до , називають комплексним потенціалом поля .

Комплексний потенціал f(z) є аналітичною функцією в області D. Дійсну частину комплексного потенціалу називають силовою функцією поля , а її лінії рівня називають силовими лініями. Лінії рівня функції називають еквіпотенціальними лініями поля .

Введення комплексного потенціалу поля дозволяє застосовувати добре розроблену техніку теорії функції комплексної змінної для дослідження проблем електротехніки.

18.4. Інтегрування функцій комплексної змінної.

18.4.1. Означення та властивості інтеграла.

Якщо існує границя вказаної інтегральної суми при

незалежна від способу ділення дуги С на частини і вибору точки ξ_к в кожній частині, то її називають інтегралом від функції комплексної змінної по дузі С і позначають

(28)

Якщо С - кусково-неперервна крива, -неперервна функція, то інтеграл (28) існує.

Обчислення інтеграла (28) зводиться до обчислення криволінійних інтегралів від дійсних функцій дійсних змінних.

Нехай ,тоді

Отже,

З цієї формули випливає, що на інтеграли від функції комплексної змінної поширюються звичайні властивості криволінійних інтегралів від дійсних змінних.

Якщо дуга С задана параметрично

Причому , тоді:

(30)

Приклад. Обчислити , де - коло з центром в точці та радіусом ρ (обхід проти руху годинникової стрілки).

Розв’язання. Рівняння кола з центром в точці та радіусом ρ має вигляд або в параметричній формі ,

За формулою (30) отримаємо:

Отже, (31)

Відзначимо, що заданий інтеграл не залежить від радіуса кола.