18.2.3. Границя та неперервність функції комплексної змінної.

Число w₀ називається границею функції f(z) в точці , якщо для існує таке , що виконується нерівність: для усіх z із - околу точки z₀, тобто .

Позначається так: (21)

Означення границі функції комплексної змінної не відрізняється від означення границі дійсної змінної, тому усі теореми про границі та нескінченно малі величини залишаються в силі і в цьому випадку.

Отже, якщо однозначні функції та в точці мають границі, то в цій точці мають границі і такі функції: .

Якщо існує границя , то функція f(z)обмежена в колі точки z₀.

Однозначна функція f(z) називається неперервною в точці z₀ якщо вона визначена в точці z₀ і в її околі та виконується рівність

Для неперервності функції f(z) в точці необхідно і достатньо, щоб дійсна и(х, у) та уявна частини функції були неперервні в точці .

Функція f(z) називається неперервною в області D, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Неперервні функції комплексної змінної мають такі властивості, як і неперервні функції дійсної змінної. Зокрема, якщо f(z) неперервна в замкненій області D, то вона обмежена за модулем на цій області.

18.2.4. Основні трансцендентні функції.

1. Показникову функцію e^z для комплексної змінної визначають співвідношенням:

2. Функцію, обернену до показникової, називають логарифмічною і позначають:

• .

Якщо , то

Оскільки , то .

Отже, або (22)

Головним значенням логарифма числа z називають значення, яке відповідає головному значенню аргументу z

(23)

Приклад. Знайти ln(l + i) та Ln(l + i)..

Розв’язання. Оскільки |1 + i| = = .

то, використовуючи формули (23) та (22), знаходимо:

3. Для довільного комплексного z можна визначити

З цих формул видно, що функції sinz та cosz періодичні з періодом 2л.

Функція cos z - парна, a sin z - непарна. Мають місце звичайні тригонометричні співідношення:

sin² z + cos² z = 1; sin2z = 2sinzcosz.

4. Гіперболічні функції визначають рівностями:

Мають місце тотожності: shz = -і sin z; chz = cos iz.

18.3. Диференційованість та аналітичність функцій

18.3.1 Диференціювання функції комплексної змінної

О.1: Похідною однозначної функції w = f(z) в точці z називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, коли , і позначають

Функцію, яка має в точці похідну , називають диференційовною в точці.

Функцію f(z), диференційовну в кожній точці , називають диференційовною в області D.

Правила диференціального числення поширюються і на однозначні функції комплексної змінної:

1. якщо

2. якщо – диференційовна функція в точці

3. якщо f₁(z) та f₂(z) диференційовні в точці , то в цій точці

4. якщо w = f(z) диференційовна в точці диференційовна в точці то похідна складної функції дорівнює .

Умови диференційовності функції комплексної змінної:

Т.1: Для того, щоб однозначна функція була диференційовна в точці , необхідно і достатньо, щоб дійсні функції були диференційовні в точці (х,у) і виконувались умови Коші-Рімана:

Для знаходження похідної або

Приклад: Визначити область диференційовності функції .

Розв’язок: Знайдемо функції u та v:

Тепер знайдемо частинні похідні:

Отже, умови Коші-Рімана виконуються лише в точці (0,0), тому функція диференційовна лише в точці z=0.