18.1.2. Область на комплексній площині

Означення 3. Областю на комплексній площині називають множину Б таких точок:

1. разом з кожною точкою М із D цій множині належить і достатньо малий круг з центром в точці М;

2. довільні дві точки D можна з’єднати ламаною лінією, усі точки якої належать D..

Означення 4. Сукупність точок z, які задовольняють нерівність , називається р – околом точки а (він складається із точок, які лежать в середині круга з центром в точці а і радіусом р). Точкою межі області D (межовою точкою) називають точку, в околі якої є як внутрішні, так і зовнішні точки множини D.

Сукупність межових точок області D називають межею D і позначають або . Область D з обмежуючою її межею називається замкнутою областю і позначається . Отже .

Означення 5. Якщо область D обмежена однією лінією, то вона називається однозв’язною. Якщо область D обмежена декількома лініями, то вона називається багатозв’язною.

Означення 6. Напрям обходу межі області D називається додатним, якщо при цьому обході область знаходиться зліва.

18.2. Послідовності та функції комплексної змінної

18.2.1. Послідовності комплексних чисел та їх границі.

Послідовністю комплексних чисел {z_n} називається вираз вигляду z_1,z₂,..z_n (19),

де z_1,z₂,..z_n комплексні числа.

Число називається границею послідовності (19), якщо для довільного > 0 існує таке число N( ) що для усіх п > N( ) виконується нерівність: |z_n-z₀|<

Границю послідовності z_1,z₂,..z_n позначають так:

Якщо , то існування границі послідовності рівносильне існуванню двох границь:

Послідовність { z_n }, яка має скінченну границю, називають збіжною.

18.2.2. Функції комплексної змінної.

Якщо кожному значенню відповідає за законом відповідності f хоча б одне значення , то w називають функцією від z і позначають w = f(z).

Якщо кожному значенню відповідає одне значення , то функція називається однозначною; якщо деяким значенням відповідає більше одного значення , то функція є многозначною.

Область D незалежної змінної z = х + іу називають областю визначення функції , область називають областю значень функції f(z). Якщо покласти z = x + iy, а w = u + iv, то задання функції комплексної змінної w = f(z) рівносильне заданню двох функцій двох дійсних змінних и = и(х,у), v = v(x,y), де и(х,у)= Re f(z), v(x,у)= Im f(z) - упорядкована пара дійсних функцій. Найчастіше відкладають значення z на одній площині (хОу), а значення w на іншій площині (uOv).

Функцію комплексної змінної f(z) можна записати і в тригонометричній формі:

Функцію комплексної змінної f(z) можна розглядати як оператор відображення області визначення D в область значень G.

Функцію (відображення ) називають оберненою до функції .

Однозначну функцію w = f(z) називають однолистою в області D, якщо для

Взаємно-однозначні функції та . – однолисті.

Однолиста функція w = f(z) здійснює взаємно однозначне відображення області D на G = f(D).

Функцію w = f(z) називають обмеженою в області D, якщо існує таке число N > 0, що для усіх .