17.4. Визначення оригіналу за його зображенням Лапласа.

Найбільш загально. Є наступна теорема.

Теорема. Якщо F(p) аналітична в усій комплексній площині, за виключенням скінченної кількості особливих точок a_k і тоді для усіх t > 0 оригінал зображення F(p) знаходять за формулою:

Теорема (друга теорема розкладу Хевісайда).

Якщо зображення – правильний нескоротний раціональний дріб, причому многочлен P_n(p) має корені a_k кратний r_k, k=1, 2,…,s, (r₁+ r₂₊ r_3+..+ r_s=n), тоді оригінал f(t) визначають за формулою:

Якщо усі нулі многочлену P_n(p) прості, то

де P_n’(a_k) – значення похідної першого порядку многочлена P_n(p) в точці a_k.

Розділ 18: Основи теорії функції комплексної змінної

18.1.Форми запису комплексних змінних та дії з ними

Комплексною змінною називають упорядковану пару дійсних змінних (х, у), яку записують у вигляді z=x+iy,

де і уявна одиниця, що задовольняє умові .

Змінні х та у називають дійсною та уявною частинами змінної z, відповідно, і позначають так: x=Re z; y = Im z.

Числа r та ϕ називають модулем та аргументом комплексної змінної z і позначають

Модуль z визначають однозначно за формулою ₍₂₎

Запис комплексної змінної у вигляді ₍₅₎

називають тригонометричною формою змінної z. Використовуючи формулу Ейлера ,(6) Отримаємо показникову форму змінної z (7)

Означення 1. Комплексне число а - іb називається комплексно спряжиеним до числа z= а + іb і позначається , тобто =a-ib(8)

У комплексно спряжнених чисел z та модулі рівні, аргументи відрізняються лише знаком. Числа z та зображуються точками, які симетричні відносно дійсної осі.

Означення 2. Комплексне число –z=-a-ib називається протилежним комплексним числом до числа z=a+ib. Якщо , то число — називається оберненим комплексним числом до числа z.

Дії з комплексними числами.

Добутком комплексних чисел, заданих в алгебраїчній формі, називається комплексне число

(10)

яке одержують за правилом множення многочленів з урахуванням, що .

Ділення комплексних чисел визначається як дія, обернена множенню. При діленні комплексних чисел в алгебраїчній формі достатньо помножити чисельник і знаменник на число, комплексно спряжених до знаменника, а потім відокремити дійсну та уявну частини:

(11)

Якщо комплексні числа та задані в тригонометричній формі, то їх добуток знаходиться за формуло (12)

а частки за формулою: (13)

Якщо комплексні числа задані у показниковій формі, то

З (12) та (13) випливає, що при множенні комплексного числа на вектор розтягується в раз і повертається на кут проти руху годинникової стрілки.

Зокрема, множення z на i зводиться до повороту вектора z на кут без розтягування. З формул (13) та (15) випливає, що при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.

Приклад. Знайти алгебраїчну форму суми

Піднесення до степеня та добування кореня.

Зокрема, якщо усі множники дорівнюють то n=1,2… (16)

Добуття кореня п степеня із комплексного числа здійснюють за формулою:

(17)

З цієї формули випливає, що є п різних значень . Кожному із цих п значень відповідає точка комплексної площини. Усі ці точки лежать на колі радіуса з центром в початку координат і поділяють коло на n рівних частин. Відзначимо, що у випадку комплексного числа z у показниковій формі маємо: