Розділ 16: Гармонічний аналіз (Фур’є only)

16.2 Ряди Фур’є. Розклад функції в ряд Фур’є.

Функція f(x) яка задовільняє умовам Діріхле:

1. неперервна або має нескінчену кількість точок розриву першого роду на [a,b];

2. має в [a,b] скінченну кількість екстремумів, можна розвинути в ряд Фур'є за будь-якою ортонормованою на [a,b] системою функцій , тобто представити у вигляді (1);

Cума ряду правої частини цієї рівності дорівнює:

1. в точках неперервності f(x);

2. в точках розриву f(x).

Коефіцієнти розкладу (1) називають коефіцієнтами Фур'є функції і знах.:

, k=0,1,3…(2)

Ці коефіцієнти задовольняють нерівність Бесселя:

(3), і забезпечують мінімальне відхилення за нормою часткової суми ряду від ф-ції f(x) тобто =min (4).

У випадку повної ортогональної системи функцій співвідношення (3) стає рівністю Парсеваля: (5)

У випадку ортогональної на[- λ, λ] тригонометричної системи ф-ції:

Знаходимо коефіцієнт за ф-лами:

(7)

(8)

Гармоніки правої частини рівності(6) мають загальний період , їх сума має період Т=2 .

Якщо f(x) задана лише на скінченому проміжку [- λ, λ], то (6) буде розкладом період. подовження f(x) за межі цього проміжку.

Якщо f(x)парна на [- λ, λ],то:

(9)

Якщо f(x) непарна:

(10)

Якщо f(x) задана тільки на [0, λ], та задовільняє умовам Діріхле її можна подовжити на

[- λ, 0], та отримати її розклад в ряд за синусами чи косинусами.

Приклад розкладу в ряд Фур’є:

Роскладемо функцію при , та знайдемо суми числових рядів:

1. 

2. 

3. 

Оскільки парна, розкладемо ряд за косинусами:

Тепер складемо ряд:

Тоді: -

.

Отже:

Звіздси, при :

При х=0:

Зауважимо що , отже: .

16.3.Перетворення Фур’є.

Якщо функція f(x) задана на (-∞;∞), задовольняє умовам Діріхле на кожному скінченному проміжку і умові то в кожній точці х неперервності функції мають місце рівності: (23); (24) . Праву частину рівності (24) називають перетворенням Фур’є або спектральною щільністю функції f(х) і часто позначають так: F(f) або S(w). Праву частину рівності (23) називають оберненим перетворенням Фур’є або розкладом функції f(х) на уявні гармоніки з довільною частотою w і позначають F-¹(f) або F-¹(S). У тригонометричній формі розклад f(х) на гармоніки має вигляд

(25) де

(26)

Озн. Функцію А_к (w) називають косинус -перетвореннням Фур’є, а функцію В_с(w) називають синус перетворенням Фур’є функції f(x).

В деяких підручниках та довідниках коефіцієнти в перетворенні Фур’є та в оберненому перетворенні Фур’є беруть рівними, тобто використовують формули:

Основні властивості перетворення Фур’є.

Лінійність. Перетворення Фур’є лінійної комбінації скінченної кількості функцій, що мають перетворення Фур’є, дорівнює такій самій алгебраїчній сумі перетворень Фур’є цих функцій:

Властивість подібності. Якщо f(x) має перетворення Фур’є то функція f(ах) має перетворення Фур є тобто із

Якщо функцію f(х) про диференціювати за змінною х, то її перетворення Фур’є помножиться на.iw.

Властивість зміщення. Якщо то

Приклад: . Знайти представлення функці використовуючи її косинус та синус перетворення Фур’є. Розв’язання. Функція задана і неперервна на [0, ∞), задовольняє усім умовам Діріхле. За формулою (28)

За формулою (З0) знайдемо її синус-перетворення Фур’є

Використовуючи формули (27') та (29') одержимо потрібні представлення: