Властивості правильно збіжних функц. Рядів

1. Якщо члени правильно збіжного в проміжку (a;b) функц. ряду неперервні, тоді його сума також неперервна функція в (a;b).

Наслідок. Якщо сума в деякому проміжку (a;b) розривна, то ряд в цьому проміжку немажорований

2. Якщо члени правильно зб. в проміжку (a;b) функц. ряду u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x) неперервні в цьому проміжку, то ряд можна інтегрувати, причому для довільних x (a;b) має місце рівність

3. Нехай ряд – правильно зб. в (a;b) і його члени мають неперервні похідні. Тоді для усіх x (a;b) має місце рівність

4. Якщо правильно зб. в проміжку (a;b) функц. ряд помножити на обмежену на проміжку (a;b) функцію , то одержаний ряд буде правильно збіжним в (a;b)

Різновиди збіжності функціональних рядів

Означення. Функц. ряд збігається до суми S(x) рівномірно в [a;b], якщо при

Функц. ряд збігається до суми S(x) в середньому на проміжку [a;b], якщо при

Функц. ряд збігається до суми S(x) в середньому квадратичному на проміжку [a;b], якщо при

Якщо ряд збігається рівномірно, то збігається і в середньому квадратичному, при чому до однакової суми S(x)

Ознака Вейєрштрасса: для рівномірної збіжності ряду достатньо його правильної збіжності.

15.2 Степеневі ряди

Степеневим рядом називають ряд виду: де c та коефіцієнти ряду - сталі.

Частковий випадок при :

Такі ряди називають рядами за степенями (х-с), або за степенями х.

15.2.1. Область збіжності та властивості:

Теорема Абеля: Якщо степеневий ряд

1. Збігається при , то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нервність ;

2. Розбігається при , то він розбігається при .

Інтервал збіжності:

Примітка: можливе використання Інтегральної теореми Коші (мало ймовірно).

Область збіжності:

У випадку (*) дослідити збіжність ряду, підставляючи замість х кінці інтервалу збіжності.

Властивості спеневених рядів:

1. Степеневий ряд на інтервалі його збіжності можна почленно інтегрувати та диференціювати.

2. Якщо взяти певний довільний інтервал всередині інтервалу збіжності ряду, то ряд буде правильно збіжний на взятому інтервалі.

3. Сума степеневого ряду є неперервною функцією в кожній точці його інтервалу збіжності.

4. Степеневі ряди всередині перетину інтервалів їх збіжності можна почленно складати, множити за правилом множення многочленів, ділити ряд на ряд.

15.2.2. Розклад функції в степеневий ряд

Примітка: Для розкладу функції в степеневий ряд використовується таблиця «Розкладу функцій в степеневі ряди».

Ряд Тейлора:

Ряд Маклорена:

Формули:

Таблиця розкладу функцій в степенні ряди

Інтервал збіжності:

Примітка: можливе використання Інтегральної теореми Коші (мало ймовірно).

Ряд Тейлора:

Ряд Маклорена:

Приклади

1. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

Ряд сходится при

Слева нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 7  – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.

1. При    Используем признак Лейбница.  – Ряд является знакочередующимся.  – члены ряда не убывают по модулю. Вывод: Ряд расходится 2) При  Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ответ:   – область сходимости исследуемого степенного ряда.

2. Разложить функцию   в ряд Тейлора по степеням  . Найти

область сходимости полученного ряда.

Используем  разложение функции в ряд Тейлора по степеням  : В данном случае:    …   … Таким образом: Ответ:   ряд сходится при  .