14.4.2 Властивості збіжних рядів

На абсолютно збіжні ряди переносяться усі властивості сум скінченної кількості доданків.

1. Відкидання скінченної кількості перших членів ряду не впливає на його збіжність; якщо вихідний ряд збіжний, то сума отриманого ряду буде менша суми початкового ряду  на суму відкинутих членів.

2. Збіжні ряди можна почленно додавати і віднімати. Ця властивість означає, що із збіжності двох рядів   випливає збіжність ряду .

3. Якщо члени збіжного ряду, не змінюючи їх порядку, об'єднати в групи, то отриманий при цьому ряд також збігається  і сума його співпадає із сумою вихідного ряду.

4. Нехай   - деякий збіжний числовий ряд,   - сума цього ряду. Тоді ряд   (С – довільне число, відмінне від нуля) також збіжний і його сума рівна  .

5. Нехай ряд   з невід‘ємними членами, а ряд   отримується із даного ряду довільною перестановкою його членів. Тоді дані ряди збігаються одночасно і мають одну і ту ж суму.

Особливе значення має властивість перестановки: сума абсолютно збіжного знакозмінного ряду не змінюється від будь-якої перестановки множини його членів.

В умовно збіжному ряді не можна переставляти члени оскільки у випадку їх перестановки може змінюватись сума ряду або утвориться розбіжний ряд.

Теорема Діріхле. Якщо знакозмінний ряд  збігається абсолютно, то буде збігатися і при тому абсолютно ряд, одержаний із даного довільною перестановкою його членів. При цьому сума ряду не залежить від порядку його членів.

Теорема Рімана. Якщо знакозмінний ряд збігається умовно, то, яке б не взяти наперед число, скінчене або рівне, можна так переставити члени цього ряду, щоби його сума в точності дорівнювала цьому числу.

ПРИКЛАДИ

Дослідити збіжність рядів

1. 

Розв’язання.

Ряд 1) – знакозмінний, оскільки

Розглянемо ряд , складений з абсолютних величин членів ряду. Цей ряд є узагальненим гармонічним рядом з показником степеня P=2>1, тому він збіжний. Згадно з означенням це означає, що ряд 1) абсолютно збіжний.

2. 

Розв’язання:

Ряд 2) – знакопочережний. Ряд складений із абсолютних величин його членів розбігається, оскільки це гармонічний ряд. Це означає, що ряд 2) абсолютно не збігається.

Оскільки обидві умови узнаки Лейбніца для ряду 2) виконуються : то цей ряд розбігається умовно.

Розділ 15. Функціональні та степеневі ряди

15.1 Функціональні ряди.

Означення 1. Ряд називається функціональним, якщо його члени є функціями, наприклад х, тобто ряд має вигляд (1)

Якщо числовий ряд збігається, то точку х₀ називають точкою збіжності функціонального ряду (1), якщо розбігається – то точкою розбіжності.

Означення 2. Сукупність усіх точок збіжності функціонального ряду є областю його збіжності.

r_n(x)=u_n+1(x)+u_n+2(x)+… - залишок ряду

Означення 3. Функціональний ряд (1) називається правильно збіжним або мажорованим в проміжку [a,b], якщо існує такий числовий додатний збіжний ряд , що абсолютні величини членів функц. ряду для довільного х [a;b] задовольняють співвідношенням .

Ряд називають мажоруючим рядом для функц. ряду (1)

Приклад 1. Визначити область збіжності ряду

Члени ряду утворюють геометричну прогресію. 1й член - , знаменник . Такий ряд збігається при . Отже, ряд збігається при |x|>1. Відповідь:

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду

Ряд є правильно збіжним для всіх х, оскільки . Додатний числ. ряд є узагальненим гармонічним рядом із показником степеня р=2<1. З озн. 3 випливає, що правильно збіжний ряд в області збігається в усіх точках цього проміжку.