Перенос форм при отображениях

Опр.1:

- операция переноса

Опр.2:

Свойства операции переноса:

1.

2.

3.

4.

Координатная запись форм, возникающих при переносе.

Пример:

Утв.:

Если:

То:

Утв.:

Если: , в задана дифференциальная форма ,

То: Координатная запись формы может быть получена из координатной записи исходной формы прямой заменой переменных с последующим преобразованием в соответствии со свойствами внешнего произведения.

Криволинейные и поверхностные интегралы.

Опр.:

-форма

- сужение формы на

Опр.:

- гладкая ориентированная поверхность

- её локальная карта

- -форма на

-диффеоморфизм

- касательные векторы,

Утв.:

Опр.:

- Интеграл от дифференциальной формы по ориентированной поверхности размерности .

Опр.:

а)

б) задана картой

«+» - когда ориентация поверхности согласована с ориентацией, задаваемой параметризацией , иначе «-».

в) Когда - кусочно-гладкая . Поверхность , после удаления из неё поверхностей размерности не выше, чем , состоит из гладких поверхностей со взаимно согласованной ориентацией.

Пример: Если из куба удалить рёбра и вершины, то останутся шесть гладких поверхностей.

Утв.: Вышеприведённое определение не зависит от параметризации.

Док-во:

а)

б)

в) Корректность определения вытекает из свойств аддитивности кратного интеграла.

Интегралы от формы работы, потока. Форма объёма.

Интеграл от формы работы.

Если:

-поле (силовое)

- параметризованная кривая

То:

Интеграл от формы потока

Если:

- поле скоростей

ориентированная поверхность

- её карта

То:

Форма объёма

Опр.:

- ориентированное евклидово пространство со скалярным произведением.

-репер

Формой объёма на называется кососимметрическая -форма, которая на ортонормированном репере данного класса ориентации принимает значение единица.

Утв.:

Определение корректно 

Док-во:

-матрица перехода,

Утв.:

Значение формы объёма на наборе векторов - ориентированный объём параллелепипеда, натянутого на эти вектора.

Док-во:

Опр.:

-гладкая поверхность размерности

Пусть в касательном пространстве ориентация согласована с исходной ориентацией пространства , тогда форма объёма в называется формой объёма на поверхности .

Опр. 1:

Площадью поверхности называется

Замечание:

Площадь поверхности не зависит от ориентации, т.к. при изменении ориентации меняется и форма объёма.

Опр. 2:

Утв.: опр.1 эквивалентно опр.2.

Док-во:

Опр.:

Если -кусочно-гладкая поверхность, состоящая из гладких частей , пересекающихся по поверхностям размерности не выше, чем , то площадь = сумме площадей .

Выражение формы объёма в декартовых координатах

Утв.:

Если: - поверхность размерности ,

- единичный вектор нормали.

То:

Док-во:

Утв.:

Если: - поверхность размерности 2,

- нормаль

То:

Док-во:

Интегралы I и II рода.

Опр.:

- ориентированная поверхность

- функция

- форма объёма

- интеграл I рода по ориентированной поверхности

Пример:

- плотность

- масса

Замечание:

Изменение ориентации не меняет интеграл I рода, т.к. при изменении ориентации поверхности изменяется и форма объёма.

Замечание:

Т.к. -мерные кососимметрические формы размерности пропорциональны между собой, то любой интеграл II рода может быть представлен через интеграл I рода.

Примеры:

1.

- касательный вектор к кривой

- натуральный параметр

2.