Приложения кратных интегралов.

Везде далее -измеримо,

1. Площадь.

2. Масса.

- плотность

3. Статический момент.

- статический момент пластины относительно оси

4. Центр масс.

Опр.: точка называется центром масс, если материальная точка, помещённая в , с массой, равной массе тела, имеет одинаковый с телом статический момент.

5. Момент инерции.

- момент инерции пластины относительно оси

- момент инерции относительно начала координат.

Дифференциальная геометрия Векторная функция скалярного аргумента.

Опр.:

1. - векторная функция скалярного аргумента

2.

3. - кусочно гладкая, когда - кусочно гладкие

4. Отображение - путь. Образ при отображении - носитель пути (параметризованная кривая)

Свойства предела.

1.

2.

Свойства производной

Опр.: - скорость

1.

2. Если:

- скалярная функция, - вукторная,

То:

Лемма.

Если: - дифференцируема,

То: .

Док-во:

Следствие:

Если точка движется по сфере, то скорость направлена по касательной к сфере.

Опр.: - путь

Опр.:

1. Если - биекция, , , то - кривая (носитель пути).

2. Гладкость кривой определяется гладкостью функций .

3. Кривая – одномерное многообразие в

Опр.:

Если:

, то касательная в точке имеет вид:

или

- в векторной форме

или

или

Касательная как предел секущей.

- секущая прямая

Предельное положение вектора секущей задаёт касательный вектор (вектор скорости).

Опр.:

Прямую проходящую в направлении вектора скорости через заданную точку называется касательной прямой к данной кривой в данной точке.

- секущий вектор касательной

Длина кривой. Спрямляющая кривая. Натуральная параметризация.

О

пр.:

- длина ломаной

- длина кривой

Опр.:

Если длина кривой конечна, то кривая называется спрямляемой.

Утв.:

.

Следствие 1.:

Если:

на

То:

Док-во:

Опр.: Натуральная параметризация – параметризация, при которой в качестве параметра используется - длина кривой от начала до данной точки.

Замечание:

Здесь и далее:

Следствие 2.:

Если: перейти от параметра к параметру

То:

Док-во:

Основной трёхгранник кривой. Формулы Френе.

Опр.:

1. - касательный вектор

2. - вектор нормали

3.

Свойства:

1. (т.к. )

2. (т.к. и )

3. - правая тройка

Замечание

и - тоже правые тройки.

Опр.:

1. Трёхгранник называется основным трёхгранником кривой.

2. Система координат называется сопровождающей системой координат.

Опр.:

1. Плоскость называется нормальной.

2. Плоскость - соприкасающаяся.

3. Плоскость - спрямляющая.

Формулы Френе.

Утв.:

Если:

То:

Док-во:

1.

2.

3.

Геометрический смысл величин k и æ.

Опр.:

Абсолютная величина скорости вращения единичного касательного вектора относительно натурального параметра называется кривизной кривой в этой точке.

- кривизна кривой

- радиус кривизны кривой

Опр.:

Абсолютная величина скорости вращения вектора бинормали относительно натурального параметра называется кручением кривой в этой точке.

æ-кручение кривой.

Знак «-» берётся, если вращение идёт в сторону вектора нормали, иначе «+».

Вычисление кривизны и кручения.

Утв.:

Док-во:

1)

2)

Вычисление кривизны и кручения в случае произвольного параметра .

Утв.:

Если:

То:

Доказательства на экзамене не спрашивали.