2. Моделирование гауссовских случайных процессов

Плотность распределения нормально распределенных случайных чисел (рис. 1) определяется как:

, (6)

где μ – математическое ожидание случайного процесса;

σ>0 – его среднеквадратическое отклонение.

Рисунок 1 – Плотность вероятности (6) при μ=6, σ=2

Для этого распределения коэффициенты ассиметрии и эксцесса равны 0.

Генерация чисел с нормальным законом распределения в MatLAB производится при помощи функции randn(N, M). В таком варианте генерируется матрица размером NxM элементов, с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Для получения нормально-распределенных чисел с заданными математическим ожиданием и дисперсией необходимо использовать следующую формулу:

, (7)

где А – матрица размером 10х14 элементов, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием mx и дисперсией sko².

3. Моделирование равномерно распределенных случайных процессов

Закон распределения вероятности равномернораспределенных случайных величин записывается как

, (8)

где a и b – минимальное и максимальное значения случайного процесса.

График плотности распределения (8) при a=4, b=8 приведен на рис. 2.

Рисунок 2 – Плотность вероятности (8) при a=4, b=8

Математическое ожидание равномерного случайного процесса вычисляется как

, (9)

дисперсия

. (10)

Коэффициент ассиметрии равен 0. Коэффициент эксцесса равен -1,2.

Генерация чисел с равномерным законом распределения в MatLAB производится при помощи функции rand(N, M). В таком варианте генерируется матрица размером NxM элементов с а=0 и b=1.

Для получения равномерно-распределенных чисел с заданными значениями параметров а и b необходимо использовать следующую формулу:

. (11)

4. Моделирование случайного процесса с Пуассоновским распределением

Пуассоновский процесс определяется вероятностью, что случайный процесс примет значение k ( , целое)

, (12)

где – ожидаемое среднее процесса.

Пример распределения вероятностей (12) для приведен на рис. 3.

Рисунок 3 - Плотность вероятности (12) при

Математическое ожидание и дисперсия Пуассоновского случайного процесса равны параметру λ:

, (13)

а ассиметрия и эксцесс могут быть вычислены как:

, (14)

Генерация чисел с Пуассоновским законом распределения в MatLAB производится при помощи функции poissrnd(LAMBDA, N, M). В таком варианте генерируется матрица размером NxM элементов с λ=LAMBDA.

5. Моделирование случайного процесса с α-стабильным распределением

Для моделирования интенсивных импульсных помех часто используется модель на основе симметричного α-стабильного распределения. По форме распределение похоже на нормальный процесс с тяжелыми «хвостами» – интенсивными выбросами большой амплитуды. Интенсивность и частота появления этих выбросов зависит от параметра α ( ), а дисперсия процесса – от параметра γ ( ). При α=2 симметричное α-стабильное распределение вырождается в гауссовское.

Симметричное α-стабильное распределение описывается характеристической функцией

(15)

Генерирование выборки, подчиняющейся этому закону, проводится по следующим формулам:

, (16)

где u(n) – равномерно распределенная в интервале случайная величина;

e(n) – случайная величина со стандартным экспоненциальным (показательным) распределением (λ=1).

Если , то

. (17)

Для генерации случайных чисел с симметричным α-стабильным распределением в MatLAB может использоваться функция RFI_MakeDataAlphaStable, которая реализована в одноименном m-файле согласно формулам (16). Пример использования данной функции:

RFI_MakeDataAlphaStable(a1, d1, 0, N) – генерирует вектор N случайных чисел с симметричным α-стабильным распределением с параметрами α = а1 и γ= d1.