60. Решить задачу.

Д ано: ДАВС – пирамида (ДА=ДВ=ДС), АВ=10, АС=6, ВС=8, ДН=1.

Найти: - ?

Решение:

1) ДА=ДС=ДВ (по условию)

Н – центр описанной около АВС окружности

2)

АВС –прямоугольный ( С=90º)

Н – середина АВ

2) центр описанного шара лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведенном через центр окружности, описанной около основания пирамиды

О – центр описанного шара, О ДН,

О (ДАВ)

О – центр окружности, описанной около ДАВ.

Вычисления:

R - ?

,

Ответ: 13.

Теоретические основы решения:

1) определение центра описанной около треугольника окружности

2) определение центра описанного шара

3) формулы площади треугольника

4) теорема Пифагора

Затруднения возможны:

1) при построении треугольника основания (можно не учесть, что треугольник прямоугольный)

2) при решении того, что Н – центр описанной около основания окружности

3) при нахождении центра шара

61. Решить задачу на построение.

Дано: MN-сторона, PQ-меньшая диагональ, = (PN)^(PQ)

Построить: ABCD – параллелограмм.

I . Анализ.

Допустим, что АВСD – искомый, АВ=MN, AC=PQ, ВАС= mn. Мы видим, что в АВС даны три элемента. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить АВС по трем элементам, а затем достроить его до параллелограмма.

II. Построение:

1 )

2) [AB] | [AB] , [AB]=[MN]

3) ВАM | ВАM= mn

4) [AC] | [AC] [AM), [AC]=[PQ]

5) [CB]

6) | C , (AB)|| (//от точки С откладывается угол= mn)

7) | A , (BC)|| (//от точки А откладывается угол= АСВ)

8) D | D=

9) ABCD – искомый

III. Док-во:

По построению AB||CD, AD||BC, поэтому ABCD – параллелограмм.

Сторона АВ равна отрезку MN по построению, диагональ АС равна отрезку PQ по построению, а ВАС= mn, т.е. ABCD – искомый.

IV. Исследование:

Ясно, что если по трем данным элементам можно построить треугольник, то можно построить и параллелограмм. При любых данных отрезках и данном неразвернутом угле такой треугольник построить можно. Следовательно, данная задача имеет единственное решение( т.к. прямую l и точку А можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условию задачи. Все эти треугольники равны друг другу по первому признаку равенства треугольников, поэтому ед. решение).

Возможны затруднения:

1) При анализе того, что если построить треугольник, то можно построить и параллелограмм.

2) При построении параллельных прямых

3) при доказательстве единственности решений.

62. Решить задачу на построение.

Д ано: А, С, АМ

Построить: АВС

I. Анализ: Пусть АВС –искомый. По двум данным углам можно построить бесконечное множество подобных треугольников. Этот факт будет использоваться при построении вспомогательного треугольника. Сначала построим АВ₁С₁ ( С₁= С), проведем в нем медиану АМ₁. У данного треугольника и искомого одинаковые формы. Затем на медиане АМ₁ отложим медиану АМ. И с помощью гомотетии с центром в точке А и построить точки В и С.