Теорема Лагранжа

Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 2.1).

Проведем хорду, соединяющую точки и , и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:

,

откуда:

и .

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

.

Полученная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление в точках и показывает, что . Значит, функция на отрезке удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой .

Вычислим производную функции :

.

Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и

,

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.

Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:

,

то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.

Теорема Коши

Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Так как во всех точках , то отсюда следует, что . В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка , в которой .

Составим вспомогательную функцию

.

Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .

Вычислим производную :

.

Из условия следует, что

и ,

что и требовалось доказать.

В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

Правило Лапиталя-Бернули (раскрытие неопределенностей вида ∞/∞ и 0/0)

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Для раскрытия неопределённостей типа ∞/∞ используется следующий алгоритм:

Выявление старшей степени переменной;

Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа 0/0 существует следующий алгоритм: Разложение на множители числителя и знаменателя; Сокращение дроби.

Неопределенности типа 

Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что

В этом случае говорят, что функция   имеет неопределенность типа   в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция   содержит неопределенность  , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.  Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.  Неопределенности типа 

Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством

где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция   имеет в точке a неопределенность типа  . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени. 

Неопределенности типа 

Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа   и  . 

Раскрытие неопределенностей вида 0 ∙ ∞; ∞-∞; 0⁰; 1^∞; ∞⁰

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов  ,  ,   пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Для раскрытия неопределённостей типа   иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть   и 

Формула Тейлора n-ого порядка, (теорема)

Формула Маклорена n-ого порядка, (теорема)

Формула Маклорена n-ого порядка для функций вида: sinx, cosx, e^x; ln(1+x); (1+x)^α; 1/(1+x); 1/(1-x)

Возрастание и убывание функции, (определение; необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции на некотором промежутке)

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке положительна (f'(x)>0), то на этом промежутке функция возрастает.

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке отрицательна (f'(x)<0), то на этом промежутке функция убывает. Эти условия являются достаточными условиями возрастания (убывания функции). Постараемся понять, почему так происходит (строгое доказательство рассматривается в программе высших учебных заведений). Известно, что геометрический смысл производной - тангенс угла наклона касательной. Значит, если производная положительна, то угол будет острым. И получается, что график идет «в гору». Если производная отрицательна, то угол наклона будет тупым и получается, что график идет «под гору». Промежутки возрастания и убывания называют промежутками монотонности функции. Точка x₀  называется точкой максимума функции f(x), если существует положительное число E, такое, что для любой точки x из промежутка  , выполняется неравенство  . Иными словами, значение функции f(x₀)  самое большое в некоторой окрестности точки x₀. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если существует положительное число E, такое, что для любой точки x из промежутка  , выполняется неравенство  . Иными словами значение функции f(x₀) самое маленькое в некоторой окрестности точки x₀. На следующем графике точки -9 и 3 являются точками максимума, а точка -2 является точкой минимума. Точки максимума или минимума называются точками экстремума.