Производная функции в точке. Односторонние производные (определения)

Определяются также односторонние производные, где вместо соответствующего предела используется односторонний (левосторонний и правосторонний) предел. Правосторонняя производная или производной справа обозначается символами  . Левосторонняя производная или производная слева обозначается символами  . Обычная производная существует тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние производные (их величина и равна производной).

Односторонний предел по Гейне

• Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякой последовательности  , состоящей из точек, больших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу  .

• Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякой последовательности  , состоящей из точек, меньших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу  .^[1]

Односторонний предел по Коши

Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число   такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  .

Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число  , такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  .^[1]

Геометрический, механический смысл производной

Геометрический - Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Физический смысл производной - Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

Необходимое условие существования производной

Если функция имеет в определенной точке производную, то существует касательная к графику этой функции в этой точке, причем угловой коэффициент этой касательной равен значению производной.

Теорема (необходимое условие существования производной функции в точке).  Если функция  y = f(x) имеет производную в точке , то функция f(x)  в этой точке непрерывна.

Доказательство

Пусть существует   .  Тогда , где  – бесконечно малая при  . ⇒   ;

⇒  

.

Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке    (по геометрическому определению непрерывности).

Замечание. Непрерывность функции в точке     не является достаточным условием существования производной этой функции в точке   .  Например, функция y = |x|   непрерывна, но не имеет производной в точке .

Очевидно, что соответствие является функцией, определенной на некотором множестве . Ее называют производной функции  y = f(x) и обозначают

.

Операцию нахождения для функции f(x) ее производной функции называют дифференцированием функции y = f(x).