3. Ціла та дробова частина

Графіки виду y = {f(x)}

Для побудови графіків виду y = {f(x)} розбиваємо координатну площину з побудованим в ній допоміжним графіком y = f(x) на горизонтальні смуги прямими y = n (n є Z). Через точки перетину проводених прямих з графіком, функцій y = f(x) проводять ще одну серію прямих, паралельних осі ОУ. Ті частини графіка, що попали в утворені прямокутники, будуть відповідати шуканому, графіку, якщо змістити їх в напрямі осі абсцис на n одиниць з верхньої півплощини та на n+1 – з нижньої.

Рис. 5.5. y = {x}

Рис. 5.6. y = {f(x)}

Графіки функцій виду y = [f(x)]

Для побудови графіка функції y = [f(x)], будують спочатку допоміжний v = f(x), а потім прямими y = n (n є Z) розбивають координатну площину на смуги, що містяться між кожною парою цих прямих (тобто між y = n та y = n+1). Ординати точок перетину графіка y = f(x) з прямими y = n, є цілими частинами, тому ці точки перетину належать графіку y = [f(x)].

Щоб знайти інші точки графіка, проектують частини графіка y = f(x), що лежать між y = n та y = n+1, на пряму y = n. Множина збудованих у такий спосіб напіввідкритих (в окремих випадках – відкритих) відрізків і утворить шуканий графік.

Рис. 5.7. y = [x]

Рис. 5.8. y = f([x])

4. Перетворення графіків

Ми маємо певний запас функцій, графіки яких вміємо будувати— це функції . Покажемо, що застосовуючи відомі з курсу геометрії знання про перетворення фігур, цей список можна істотно розширити.

1) Розглянемо спочатку паралельне перенесення на вектор (0; b) вздовж осі ординат. Позначаючи тут і далі через координати точки, у яку переходить довільна точка (x; y) площини при даному перетворенні, одержимо відомі нам формули

( 5.1)

Нехай f — довільна функція з областю визначення D(f). З'ясуємо, у яку фігуру переходить графік цієї функції при даному перенесенні. З формул (5.1) відразу одержуємо, що довільна точка (x; f(x) + b), де

За означенням графіка функції, ця фігура є графіком функції y = f(x) + b. Сказане дозволяє сформулювати правило: для побудови графіка функції f(x) + b, де b — стале число, треба перенести графік f на вектор (0; b) вздовж осі ординат.

Приклад 1. Побудуємо графіки функцій: а) y = sin x + 2; б) y = x² – 5.

а) Відповідно до правила переносимо графік функції y = sin x на вектор

(0; 2), тобто вгору по осі Oy на 2 одиниці (рис. 5.9).

Рис. 5.9

б) Побудова здійснюється перенесенням параболи y = x²  на вектор (0; –5), тобто вниз по осі Oy (рис. 5.10).

Рис. 5.10

2) Ще одним перетворенням є розтяг вздовж осі Oy з коефіцієнтом k, що задається формулами

(4.2)

Для побудови точки M′, у яку переходить дана точка M при розтязі, треба побудувати на прямій АМ, де А — проекція М на вісь Ox (рис. 5.11), точку, гомотетичну М щодо центра А (коефіцієнт гомотетії дорівнює коефіцієнту k розтягання). На рисунку 5.12 показана побудова точок, у які переходять дані при розтяганнях з коефіцієнтами і –2.

Рис. 5.11

Рис. 5.12

З’ясуємо, у яку фігуру переходить графік функції f при розтязі. З формул (5.2) відразу одержуємо, що довільна точка (x; f (x)) графіка f переходить у точку (x; kf (x)). Звідси випливає, що графік f переходить у фігуру, що складається з усіх точок (x; kf (x)), де x D(f). Ця фігура є графіком функції y = kf (x). Доведено наступне правило: для побудови графіка функції y = kf (x) треба розтягти графік функції y = f (x) у k раз уздовж осі ординат.

Приклад 3. Побудуємо графіки функцій y = –2 x² і

Побудова здійснюється в першому випадку з графіка функції y = x² (рис. 5.13), а в другому випадку спочатку будуємо графік функції y = cos x, потім скористаємося розтяганням уздовж осі ординат з коефіцієнтом (рис. 5.14).

Зауваження. Якщо то розтягання з коефіцієнтом k часто називають стиском. Наприклад, розтягання з коефіцієнтом називають стиском у 2 рази. Відзначимо також, що якщо та для побудови графіка функції y = kf (x) треба спочатку розтягти графіка f у раз, а потім відобразити його симетрично щодо осі абсцис (див. рис. 5.13).

Рис. 5.13

Рис. 5.14

3) Паралельне перенесення вздовж осі абсцис на вектор (a; 0) задається формулами

(5.3)

Кожна точка графіка функції f переходить відповідно до формул (5.3) у точку (x + a; f (x)). Тому за допомогою перемінних , можна записати, що графік f переходить у фігуру F, що складається з точок де приймає всі значення виду x + a (x «пробігає» D(f)).

Саме при цих значеннях число x – a належить D(f) і визначено. Отже, фігура F є графік функції y = f (x – a). Отже, можна зробити висновок:

Графік функції y = f (x – a) виходить із графіка f переносом (уздовж осі абсцис) на вектор (a; 0).

Зверніть увагу: якщо, то вектор (a; 0) спрямований у позитивному напрямку осі абсцис, а при — у негативному.

П риклад 4. Побудова графіків функцій і показано на рисунках 5.15 і 5.16.

Рис. 5.15

Рис. 5.16

4) Розтяг вздовж осі Ох з коефіцієнтом k задається формулами

(5.4)

Довільна точка графіка функції f переходить при такомум розтязіі в точку (kx; f (x)). Переходячи до змінних , , можна записати, що графік y = f (x) переходить у фігуру, що складається з точок де приймає всі значення виду , а .

Ця фігура є графік функції . Отже: