Історія розвитку поняття функції
Означення функції, яким ми користуємось на даному етапі вивчення математики, з’явилося порівняно недавно – у першій половині XIX ст. Воно формувалося більш 200 років під впливом бурхливих суперечок видатних математиків кількох поколінь.
Дослідженням функціональних залежностей між величинами почали займатися ще стародавні вчені. Цей пошук знайшов відображення у відкритті формул для знаходження площин і об’ємів деяких фігур. Прикладами табличного задання функцій можуть слугувати астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і арабів.
Проте лише в першій половині XVII ст. своїм відкриттям методу координат видатні французькі математики П. Ферма ( 1601 – 1665) і Р. Декарт (1596 – 1650) заклали основи для виникнення поняття функції. У своїх працях вони досліджували зміну ординати точки залежно від зміни її абсциси.
Значну роль у формуванні поняття функції відіграли роботи великого англійського вченого Ісака Ньютона (1643 – 1727). Під функцією він розумів величину, яка змінює своє значення з плином часу.
Термін «функція» (від латинського functio – здійснення, виконання) запровадив німецький математик Георг Лейбніц (1646 – 1716). Він і його учень швейцарський математик Йоганн Бернуллі (1667 – 1748) під функцією розуміли формулу, яка пов’язую одну змінну з іншою, тобто вони ототожнювали функцію з одним із способів її задання.
Подальшому розвиткові поняття функції багато в чому сприяло з’ясування істини в багаторічному спорі видатних математиків Леонарда Ейлера (1707 – 1783) і Жана Лерона Д’Аламбера (1717 – 1783), одним з предметів якого було визначення сутності цього поняття. У результаті було сформовано більш загальний погляд на функцію як залежність однієї змінної величини від іншої, у якому це поняття жорстко не пов’язувалося зі способом задання функції.
У 30-х роках XIX ст. ідеї Ейлера набули подальшого розвитку в роботах видатних учених: російського математика Миколи Лобачевського (1792 – 1856)
і німецького математика Петера Густава Лежена Діріхле (1805 – 1859). Саме тоді з’явилося таке означення: змінну величину у називають функцією змінної величини х, якщо кожному значенню величини х відповідає єдине значення величини у.
Таке означення функції можна й сьогодні зустріти в шкільних підручниках. Проте більш сучасний погляд – це трактування функції як правила, за допомогою якого за значенням незалежної змінної можна знайти єдине значення залежної змінної.
Коли на межі XIX і XX століть виникла теорія множин і стало зрозумілим, що елементами області визначення і області значень зовсім не обов’зково мають бути числа, то під функцією стали розуміти правило, яке кожному елементу множини Х ставить у відповідність єдиний елемент множини Y.
Якщо множини Х і Y – відповідно область визначення і область значень функції f, то тим самим задається множина
{(x;y)│x є X, y є Y, y = f(x)}.
Упорядковані пари, які складають цю множину, характеризуються тим, що у них перші компоненти є різними.
Справедливе й обернене твердження: будь-яка множина упорядкованих пар, перші компоненти яких є різними, задає деяку функцію, область визначення якої – множина перших компонентів пар, область значень – множина других компонентів пар. Правило, яке кожному елементу області визначення ставить у відповідність єдиний елемент області значень, визначається самими упорядкованими парами.
Сказане демонструє, що під функцією можна розуміти множину упорядкованих пар з різними першими компонентами.
Так, множина {(1;3), (5;-7), (2;6), (-3;6)} є деякою функцією f, у якої D(f) = {1, 5, 2, -3}, E(f) = {3, -7, 6}. Записують f = {(1;3), (5;-7), (2;6), (-3;6)}. З цього запису, наприклад виплива, що f(5) = -7.
Наприклад, множини f і g, де f = {(x;2x-1) │x є R}, g = {(x;x2) │x є R}, є відповідно лінійною і квадратичною функціями.
Рис. 1.1. П’єр Ферма Рис. 1.2. Рене Декарт
Рис. 1.3. Ісак Ньютон Рис. 1.4. Георг Лейбніц
Рис. 1.5. Йоганн Бернуллі Рис. 1.6. Леонард Ейлер
Рис. 1.7. Жан Лерон Д’Аламбер Рис. 1.8. Микола Лобачевський
Рис. 1. 9. Петер Діріхле