4.7. Проміжки монотонності функції
Функція f (x) називається монотонно зростаючою на проміжку (a, b), якщо для будь-якого x, що належить цьому проміжку, f (a) <f (x) <f (b). Функція називається монотонно спадною на проміжку (a, b), якщо для будь-якого x, що належить цьому проміжку, f (a)> f (x)> f (b). Якщо не дотримується жодне з цих умов, то функцію можна назвати ні монотонно зростаючою, ні монотонно спадною. У цих випадках потрібне додаткове дослідження.
Приклад
1. Дослідити
функцію 
на
монотонність.
Розв’язання.
Областю
визначення даної функції є множина
дійсних чисел. Обчислимо похідну даної
функції: 
.
Зрозуміло, що похідна дорівнює нулю
при 
.
За методом інтервалів знайдемо проміжки
знакосталості 
.
На проміжках 
,
тому дана функція тут зростає. На
проміжку 
,
тому функція спадає на цьому проміжку.
Приклад 2. Записати в порядку зростання значення виразів: sin (2.6); sin (1.4); sin (-1.8); sin (0.2).
Розв’язання.
Якщо значення аргументу зростає від -∏/2 до ∏/2, то значення синуса зростає від -1 до 1. Зведемо синуси даних аргументів, що що належать проміжку [-∏/2; ∏/2].
s
in
(-1.8) = -sin 1.8 + sin (∏
- 1.8) -sin (3.14 – 1.8) = -sin 1.34
s in 2.5 = sin (∏ - 2.5) sin (3.14 – 2.5) = sin 0.64
Розмістимо дані в умові вираза в порядку зростання значень аргументів, які належать проміжку [-∏/2; ∏/2]:
sin (-1.8); sin (0.2); sin (2.6); sin (1.4).
Відповідь: sin (-1.8); sin (0.2); sin (2.6); sin (1.4).
4.8. Екстремуми функції
Екстремум – найбільше та найменше значення функції на заданій множині. Розрізняють локальний та глобальний екстремум. Локальний – це екстремум в деякому довільно малому околі даної точки, а глобальний – в усій розглядуваній області значень функції.
Приклад
1.
Дослідити на екстремум функцію
Розв’язання.
Функція визначена і диференційована на R.
Знайдемо її похідну:
.
Знайдемо нулі похідної:
х2+х-2=0, х1=-2 х2=1.
Отже, функція f має дві критичні точки х1=-2, х2=1.
Оскільки
похідна є квадратним тричленом з додатним
коефіцієнтом при х2,
то на інтервалах 
,
а на інтервалі (-2;1) 
.
Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.
Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.
.
При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій точці функція f має локальний мінімум.
.
Приклад
2.
Дослідити
на екстремум функцію
Розв’язання.
Функція
визначена
на проміжках
.
Знайдемо її похідну:
.
Критична точка х=9. При переході через цю точку похідна змінює знак з мінуса на плюс. Отже, в цій точці функція f має локальний мінімум:
.
Крім
того, похідна дорівнює нулю в точці х=0.
Оскільки справа від цієї точки (до х <
6) функція не визначена, то в точці х = 0
функція набуває найменшого значення 
.
Приклад
3.
Дослідити
на екстремум функцію
.
Розв’язання.
Функція визначена і диференційована на R.
Її похідна
дорівнює
нулю при 
.
Ця
критична точка розбиває числову пряму
на два інтервали знакосталості
похідної 
:
.
Оскільки
на інтервалі 
,
то функція f
в точці
має
локальний максимум.
Його
значення 
.
Приклад 4. Знайти максимум функції y = 2sin x + 0.5.
Розв’язання.
Оскільки -1 ≤ sin x ≤ 1, то
-2 ≤ 2sin x ≤ 2,
-1.5 ≤ 2sin x +0.5 ≤ 2.5.
Відповідь: 2.5.
Приклад 5. Знайти найбільше і найменше значення функції y = cos x + sin x.
Розв’язання.
Запишемо дану функцію у вигляді:
y = 21/2 (1/21/2cos x + 1/21/2sin x) = 21/2 (sin ∏/4 cos x + cos ∏/4 sin x) =
= 21/2 (sin (∏/4 + x)).
Оскільки -1 ≤ sin x ≤ 1, то
-1 ≤ sin (∏/4 + x) ≤ 1,
-21/2 ≤ 21/2 sin (∏/4 + x) ≤ 21/2.
Отже, найбільше значення функції дорівнює 21/2, а найменше -21/2.
Відповідь: -21/2, 21/2.