4.5. Періодичність функції
У природі часто зустрічаються явища, які повторюються періодично. Наприклад, Земля при обертанні навколо Сонця періодично повертається у своє початкове положення через рік, два роки, три роки і т. д., тому говорять, що період обертання Землі навколо Сонця дорівнює одному року. Періодичний характер мають рухи маховика і колінчатого вала. Властивість періодичності мають звукові, електромагнітні явища, робота серця людини і т. д. Закономірності періодичних явищ описуються періодичними функціями, до вивчення яких ми і приступаємо.
Нехай
функція f(х)
визначена на множині X.
Якщо існує
таке, що для будь-якої хє
X
числа
х+Т
і
х-Т
також належать множині X
і f
(х + Т) = f
(х), f(х-Т)=
f(х),
то функціюf(х)
називають
періодичною
з періодом Т (рис.4.7).
Я
кщо
періодична функція має період Т, то вона
має нескінченну множину періодів: 2Т,
ЗТ, ..., -Т, -2Т, -ЗТ,... Найменший
із додатних періодів (якщо він існує)
називають
головним
періодом
періодичної функції. Якщо
періодична
функція має головний
період Т0.
Слід пам'ятати, що найменшого додатного
періоду функція може й не мати.
Рис. 4.7. sin x, cos x - періодичні функції.
Завдання. Знайти період функції.
Розв’я зання.
А) y = sin2 2x
І спосіб: перетворимо функцію:
y = sin2 2x = (1 – cos 4x)/2 = 1/2 – 1/2cos (4x + 2∏) = 1/2 – 1/2cos 4(x + ∏/2)
Отже, функція з періодом to = ∏/2.
ІІ спосіб: період тригонометричних функцій можна знайти за формулою
to =2 ∏/w. Тому для даної в умові функції To = 2 ∏/4 = ∏/2.
Відповідь: ∏/2.
Б) y = sin 0,5∏x.
Відомо, що функція y = sin x має нейменщий додатний період 2∏.
І спосіб: y = sin( 0.5∏x + 2∏) = sin(0.5(x + 4)). Тому To = 4.
ІІ спосіб: to = 2∏/w = 2∏/0.5∏ = 4.
Відповідь: 4.
В) y = 1/2 cos 5x/4.
Відомо, що функція y = cos x має найменший додатний період 2∏.
І спосіб: y = 1/2 cos (5x/4 + 2∏) = 1/2 cos 5/4(x + 8∏/5). Тому To = 8∏/5.
ІІ спосіб: To = 2∏/w = 2∏/(5/4) = 8∏/5.
Відповідь: 8∏/5.
Г) y = 2 tg 3x/2.
Відомо, що функція y = tg x має найменший додатний період ∏.
І спосіб: 2 tg 3x/2 = 2 tg (3x/2 + ∏) = 2 tg (3/2(x + 2∏/2)). Тому To = 2∏/3.
ІІ спосіб: To = ∏/w = ∏/(3/2) = 2∏/3.
Відповідь: 2∏/3.
Д) y = sin x cos 2x + cos x sin 2x.
Перетворимо функцію: y = sin x cos 2x + cos x sin 2x = sin 3x.
І спосіб: Оскільки найменший додатній період функції : y = sin 3x дорівнює 2∏, то sin 3x = sin (3x + 2∏) = sin(3(x + 2∏/3)). Тому To = 2∏/3.
ІІ спосіб: To = ∏/w = 2∏/3.
Відповідь: 2∏/3.
Е) y = cos4x – sin4x.
y = cos4x – sin4x = (cos2x – sin2x)(cos2x + sin2x.) = cos 2x.
Найменший додатний період функції y = cos x дорівнює 2∏.
Отже, cos 2x = cos (2x + 2∏) = cos 2 (x + ∏). Тому To = ∏.
ІІ спосіб: To = 2∏/w = 2∏/2 = ∏.
Відповідь: ∏.
4.6. Нулі та інтервали знакосталості функції
Нулем функції називають ті значення х, для яких значення функції дорівнює нулю.
З геометричної точки зору нулі функції - це абсциси точок, в яких графік функції перетинає вісь х або дотикається до неї. При переході через ці точки функція змінює знак. Функція може змінювати знак і при переході через точку розриву. Якщо графік функції тільки дотикається до осі х, то в точці дотику функція знак не змінює.
Щоб знайти нулі функції f(х) потрібно розв'язати рівняння f(х)=0. Дійсні корені цього рівняння і є нулями функції f(х).
Нехай розв'язками рівняння f(x) = 0 є числа x1, x2,….. ,x n .
Вони розбивають область визначення функції f(х) на інтервали, причому на кожному х них функція визначена і не перетворюється в нуль. На інтервалах, де функція не має а ні нулів, а ні розриву, знак функції не змінюється. Такі інтервали називаються інтервалами знакосталості.
Щоб визначити знак функції для всіх точок інтервалу знакосталості, достатньо визначити знак функції в довільній точці цього інтервалу. Якщо область визначення функції складається з кількох інтервалів знакосталості, то дослідження знаків функції проводиться окремо на кожному інтервалі.
Завдання 1. Знайдіть нулі функції.
Розв’язання.
А) f (x) = x-5.
Для знаходження нулів цієї функції, візьмемо і прирівняємо її праву частину до нуля: x - 5 = 0. Вирішивши це рівняння отримаємо, що x = 5 і це значення аргументу і буде нулем функції. Тобто при значенні аргументу 5, функція f (x) звертається в нуль.
Б) y = 1 + cos (x + ∏/6).
Область визначення функції – множина всіх дійсних чисел.
Щоб знайти нулі функції розв’яжемо рівняння:
1 + cos (x + ∏/6) = 0,
cos (x + ∏/6) = -1,
(x + ∏/6) = ∏ + 2∏n, n є Z,
x = 5∏/6 + 2∏n, n є Z.
Відповідь: 5∏/6 + 2∏n, n є Z.
В) y = 128x2 – 0.125x.
128x2 – 0.125x = 0,
27x2 = 2-3x,
7x2 = -3x,
x (7x + 3) = 0,
x = 0, або x = -3/7.
Відповідь: -3/7; 0.
Завдання 2. Знайти проміжки знакосталості функції
x2 +2х +1
y= ------------- .
х - 6 + X2
Розв'язання.
Знайдемо область визначення функції:
х-6 + х2≠ 0
x ≠ 2; x ≠ -3
Тому х є (- оо;-3)и (- 3;2) і (2;+со).
Знайдемо точки, в яких функція перетворюється в нуль.
Для цього розв'яжемо рівняння:
Х2+2Х+1 =0,
х=-1.
Тоді дослідження знаків функції будемо проводити на таких інтервалах:
(-оо;-3),(-3;і),(-1;2),(2;+со) (рис. 4.8).
-3 -1
2
Рис. 4.8
На інтервалах (-оо;-3) та (2;+оо) функція набуває додатних значень, а на інтервалах (-3;-1) та (-1; 2) - від'ємних.