2. Сталі і змінні величини. Поняття про функцію

Спостерігаючи за різними процесами, можна помітити, що величини, які беруть в них участь, поводять себе по-різному: одні з них змінюються, інші залишаються сталими. Наприклад, під час польоту літака число пасажирів, кількість вільних місць, довжина крил залишаються незмінними, тоді як швидкість і висота польоту, запас пального, температура навколишнього повітря змінюються.

Інший приклад. Якщо в трикутнику АВС вершину В пересувати по прямій МN, паралельній основі АС (рис. 2.1), то величини кутів А, В і С при цьому безперервно змінюватимуться, а сума їх, висота h і площа трикутника залишатимуться незмінними.

Рис. 2.1

Всі величини можна поділити на сталі і змінні.

Змінні величини, що беруть участь в якому-небуть процесі, звичайно змінюються не незалежно одна від одної, а в тісному зв’язку одна з одною. Наприклад, із зміною висоти польоту літака змінюється температура навколишнього повітря, а це, в свою чергу зумовлює зміну пружності повітря. Зміна радіуса основи циліндра призводить до зміни площі цієї основи; останнє спричиняє зміну об’єму циліндра (при сталій висоті) і т. д. Одне з найголовніших завдань математичного вивчення того чи іншого процечу полягає в тому, щоб з’ясувати, як зміна одних змінних величин впливає на зміну інших змінних величин.

Розглянемо кілька прикладів. Закон Бойля - Маріотта твердить, що при сталій температурі об’єм газу V змінюється обернено пропорціонально

тискові p:

V = c/p

( c – стала величина). Якщо відомий тиск, то за цією формулою можна обчислити об’єм газу. Аналогічно, формула S = ∏r² дозволяє визначити площу круга S, якщо відомий його радіус r. За формулою

можна знайти один гострий кут прямокутного трикутника, якщо відомий другий гострий кут, і т. д.

При порівнянні двох змінних величин одну з них зручніше розглядати як незалежну змінну, а другу – як залежну змінну величину. Наприклад, радіус круга r природно вважати незалежною змінною, а площу круга S = ∏r² – залежною змінною величиною. Аналогічно, тиск газу p можна вважати незалежною змінною величиною; тоді його об’єм V = c/p

буде залежною змінною величиною.

Яку ж з двох змінних величин взяти за залежну і яку за незалежну? Це питання розв’язують по-різному. Якщо, наприклад, нас цікавить, до чого призводить зміна тиску газу при сталій температурі, то природно тиск вважати незалежною, а об’єм – залежною змінною величиною. У цьому випадку залежна змінна величина V виражатиметься через незалежну величину p за формулою: V = c/p. Якщо ж ми хочемо з’ясувати наслідки стискання газу, то краще розглядати об’єм як незалежну, а тиск – як залежну змінну величину.

Тоді залежна змінна величина p виражатиметься через незалежну змінну величину V за формулою: p = c/V.

У будь-якому з цих випадків дві величини зв’язані між собою так, що кожному можливому значенню однієї з них відповідає цілком певне значення іншої.

Якщо кожному значенню однієї змінної величини х будь-яким способом поставлено у відповідність цілком певне значення іншої величини y, то кажуть, що задано функцію. Величину y при цьому називають залежною змінною величиною, або функцією, а величину х – незалежною змінною величиною, або аргументом.

Щоб записати, що y є функція аргументу х, звичайно використовують позначення y = f(x), y = g(x), y = v(x) і т. д. (Читається: ігрек дорівнює еф від ікс, ігрек дорівнює же від ікс, ігрек дорівнює ве від ікс і т. д.).

Вибір букви для позначення функції (f, g, v), звичайно, не є істотним. Істотним є лише те, який зв’язок між величинами х і у виражає ця буква.

Значення, якого набуває функція f(x) при х = a, позначається f(a). Якщо, наприклад, f(x) = x²+1, то

f(1) = 1²+1 = 2;

f(2) = 2²+1 = 5;

f(a+1) = (a+1)²+1 = a²+2a+2;

f(2a) = (2a)²+1 = 4a²+1.