Уравнения движения в неинерциальных системах отсчета.

Принцип эквивалентности -  утверждение, согласно которому поле ТЯГОТЕНИЯ в небольшой области пространства и времени (например, в замкнутой лаборатории, из которой невозможно наблюдать Вселенную) по своему проявлению тождественно ускоренной системе отсчета . Этот принцип явился краеугольным камнем общей теории ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Эйнштейна. Границы применимости Ньютоновской механики Вследствие развития физики в начале XX века определилась область применения классической механики: ее законы выполняются для движений, скорость которых много меньше скорости света. Было установлено, что с ростом скорости масса тела возрастает. Вообще законы классической механики Ньютона справедливы для случая инерциальных систем отсчета. В случае неинерциальных систем отсчета ситуация иная. При ускоренном движении неинерциальной системы координат относительно инерциальной системы первый закон Ньютона (закон инерции) в этой системе не имеет места, – свободные тела в ней будут с течением времени менять свою скорость движения. Первое несоответствие в классической механике было выявлено, тогда когда был открыт микромир. В классической механике перемещения в пространстве и определение скорости изучались вне зависимости от того, каким образом эти перемещения реализовывались. Применительно к явлениям микромира подобная ситуация, как выявилось, невозможна принципиально. Здесь пространственно-временная локализация, лежащая в основе кинематики, возможна лишь для некоторых частных случаев, которые зависят от конкретных динамических условий движения. В макро масштабах использование кинематики вполне допустимо. Для микро масштабов, где главная роль принадлежит квантам, кинематика, изучающая движение вне зависимости от динамических условий, теряет смысл.

7.Импульс системы. Закон сохранения импульса. Механическая система и ее состояния. Внутренние и внешние силы. Замкнутая система. Импульс системы. Закон сохранения импульса. Центр масс. Центр масс системы и способы его нахождения. Уравнение движения центра масс. Реактивное движение. Уравнение Мещерского и формула Циолковского. Механическая система и ее состояния. Механика занимается изучением так называемых механических систем.

Механическая система обладает определённым числом  k степеней свободы, а её состояние описывается с помощью обобщённых координат   и соответствующих им обобщённых импульсов  . Задача механики состоит в изучении свойств механических систем, и, в частности, в выяснении их эволюции во времени. Являясь одним из классов физических систем, механические системы по характеру взаимодействия с окружением разделяются на изолированные (замкнутые), закрытые и открытые, по принципу изменения свойств во времени — на статические и динамические.

Наиболее важными механическими системами являются: материальная точка, неголономная система, гармонический осциллятор, математический маятник, физический маятник, крутильный маятник, абсолютно твёрдое тело, деформируемое тело, абсолютно упругое тело, сплошная среда.

Внутренние и внешние силы Внутренние: силы напряжения, упругие силы (Internal force) — силы, возникающие в деформируемом упругом теле. Внешние: Внешние силы - это такие силы, которые действуют только на поверхность предмета, но не проникают внутрь его. К этим силам относятся все силы, развиваемые материальным объектом. Ну, например, нашей рукой. И происходит это по той причине, что наша рука не может проникнуть внутрь передвигаемого предмета. Конечно, мы могли бы разрезать этот предмет и добраться до его сердцевины. Но сделав эту операцию, мы создадим новые поверхности и воздействовать опять же будет только на поверхность, а не на атомы внутри предмета.  Внутренние силы - это такие силы, которые действуют сразу на все атомы передвигаемого предмета независимо от того, где они находятся: на поверхности или в середине предмета. К этим силам относятся силы инерции и силы поля: гравитационного, электрического, магнитного. И происходит это потому, что поле и носитель инерции физвакуум свободно проникают внутрь любого тела. Когда мы падаем вниз под действием гравитации, гравитационная сила действует сразу на все органы, белки, молекулы и атомы нашего тела.

Замкнутая система - это система тел, которые взаимодействуют только друг с другом. Нет внешних сил взаимодействия.В реальном мире такой системы не может быть, нет возможности убрать всякое внешнее взаимодействие. Замкнутая система тел - это физическая модель, как и материальная точка является моделью. Это модель системы тел, которые якобы взаимодействуют только друг с другом, внешние силы не берутся во внимание, ими пренебрегают. Импульс системы Векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость, называется импульсом тела: р — mv. Под импульсом системы тел понимают сумму импульсов всех тел этой системы: ∑p=p1+p2+... . Закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел при любых процессах ее импульс остается неизменным, т.е. ∑p = const. Справедливость этого закона легко доказать, для простоты рассмотрев систему из двух тел. При взаимодействии двух тел изменяется импульс каждого из них, причем эти изменения равны соответственно Δp = F1Δt и Δр2= F2Δt. При этом изменение полного импульса системы равно: Δр = Δр1+ Δр2=F1Δt + F2Δt = (F1+ F2) Δt. Однако, согласно третьему закону Ньютона, F1= -F2. Таким образом,  Δр = 0. Одним из важнейших следствий закона сохранения импульса является существование реактивного движения. Реактивное движение возникает в случае, когда от тела с некоторой скоростью отделяется какая-либо его часть. Центр масс/ Центр масс системы и способы его нахождения. или система материальных точек – это воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы, ее радиус вектора равен: учитывая, что miυc=Pi, a : mi•υi=P , т.е. импульс всей системы, то υc=P/m; P=mυc  т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Если внешние силы отсутствуют, то система называется замкнутой. Для замкнутой системы суммарный импульс взаимодействующих тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени: Pi=const (2.13) и выражает закон сохранения импульса – это фундаментальный закон природы, он является следствием определенного свойства симметрии пространства – его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета. Реактивное движение Под реактивным понимают движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определенной скоростью относительно тела. При этом возникает т.н. реактивная сила, сообщающая телу ускорение.

Уравнение Мещерского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским в 1897 году для материальной точки переменной массы (состава). Уравнение обычно записывается в следующем виде:

где:M(t) — масса материальной точки, изменяющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой, в произвольный момент времени t;V — скорость движения материальной точки переменной массы;F— результирующая внешних сил, действующих на материальную точку переменной массы со стороны её внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае массообмена с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.); — относительная скорость присоединяющихся частиц;   — относительная скорость отделяющихся частиц; ,   -скорости массообмена присоединяющихся и отделяющихся частиц. Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической. , где:V— конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;I— удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);M1 — начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо);M2— конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция).

8.Работа и мощность силы. Работа и мощность, единицы их измерения. Работа силы тяжести, силы упругости, силы трения . Механическая энергия системы и закон ее сохранения. Энергия. Кинетическая энергия и ее связь с работой внешних сил. Потенциальная энергия и ее связь с силой поля. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии.

Мощность N=const. Единица измерения мощности в СИ 1 Вт =1Джс А- работа за время t. Если мощность не постоянна, то вычисляется  средняя мощность: Мощность -  физическая величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение которого она произведена. Мгновенная мощность: Работа силы: , F=const (и движение п прямой, в неизменном направлении) где - работа силы , – перемещение материальной точки , на которую действует сила , - угол между силой и перемещением . Чтобы найти работу не постоянной силы над точкой над точкой, которая движется по произвольной траектории, надо мысленно разбить движение на такие малые перемещения , чтобы на каждом из них с достаточной точностью можно было бы считать движение прямолинейным, а силу постоянной. Тогда , если – острый угол. , если – тупой угол. А=0, если =90гр. Единица измерения работы в СИ 1Дж=1Н*м. Работа силы тяжести, силы упругости, силы трения Вычислим работу силы тяжести отдельной материальной точки. Пусть точка М веса G переместилась по некоторой траектории L из точки М1 в точку М2. Элементарная работа на перемещении dr будет равна dA = Gxdx + Gydy + Gzdz, но при выбранном направлении осей Gx = 0, Gy = 0, Gz = –G. Полная работа силы тяжести на конечном участке траектории М1М2 будет равна А = G(z1 – z2). Работа силы тяжести материальной точки равна произведению веса на разность высот начального и конечного положений точки, причем она положительна, если конечное положение ниже начального, и отрицательна, если наоборот.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой точка переместилась из начального

положения в конечное. Это свойство силы тяжести оказывается характерным для широкого класса других

сил, которые именуются потенциальными или консервативными. Отметим также, что работа силы тяжести

выражается полным дифференциалом некоторой функции координат и именно поэтому не зависит от формы

траектории. Рассмотрим работу силы упругой пружины, коэффициент жесткости обозначим через с. Вычислим, какую работу произведут упругие силы при растяжении конца пружины на длину f из нерастянутого состояния. механи́ческая эне́ргия описывает сумму потенциальной и кинетической энергий, имеющихся в компонентах механической системы. Механическая энергия — это энергия, связанная с движением объекта или его положением, способность совершать механическую работу. Закон сохранения механической энергии утверждает, что если тело или система подвергается действию только консервативных сил, то полная механическая энергия этого тела или системы остаётся постоянной. В изолированной системе, где действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется. Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории записывается в виде: 

 Энергия - скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи, мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Введение понятия энергии удобно тем, что в случае, если физическая система является замкнутой, то её энергия сохраняется в этой системе на протяжении времени, в течение которого система будет являться замкнутой. Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек в выбранной системе отсчёта. Часто выделяют кинетическую энергиюпоступательного и вращательного движения. Кинетическая энергия - это энергия, которую тело имеет только при движении. Когда тело не движется, кинетическая энергия равна нулю. связь кинетической энергии с работой.  Если постоянная сила действует на тело, то оно будет двигаться в направлении силы. Тогда элементарная работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2, будет равна произведению силы F на перемещение dr : dA = F dr,  отсюда            , Окончательно получаем: .

Следовательно, работа силы, приложенной к телу на пути r, численно равна изменению кинетической энергии этого тела: Или изменение кинетической энергии dK равно работе внешних сил: dK = dA. Работа, так же как и кинетическая энергия, измеряется в джоулях.  Потенциальная энергия   — скалярная физическая величина, представляющая собой часть полной механической энергии системы, находящейся в поле консервативных сил. Зависит от положения материальных точек, составляющих систему, и характеризует работу, совершаемую полем при их перемещении. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы^[2]. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином. Единицей измерения энергии в Международной системе единиц (СИ) является джоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии. Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными (потенциальными). Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля. Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

Связь силы поля и потенциальной энергии. Каждой точке потенциального поля сил соответствует, с одной стороны, некоторое значение силы F, действующей на тело, с другой стороны – некоторое значение потенциальной энергии U для данной конфигурации взаимодействующих тел. Следовательно, между   и U должна существовать какая-то функциональная связь.

Вычислим элементарную работу dA, совершаемую силами поля при малом перемещении тела    вдоль некоторого произвольного направления S. , где Fr = F×cos a - проекция силы на направление перемещения.

Работа эта совершается за счет запаса потенциальной энергии системы и равна убыли потенциальной энергии (-dU), т.е.

dA = - dU(r) или Fr×dr = -dU. Откуда   или в векторной форме 

В нашем случае сила (векторная величина) есть градиент потенциальной энергии - величины скалярной. Знак “ – “ указывает, что вектор силы    направлен в сторону убывания потенциальной энергии U. Важное замечание: Прибавление постоянной во времени величины к потенциальной энергии не изменяет картины силового воздействия данного силового поля на данную частицу (тело) (вследствие операции дифференцирования). Следовательно: а) выбор уровня, с которого производится отсчет величины потенциальной энергии – произвольная операция, допускающая удобный выбор; б) строго определенный физический смысл имеет не фиксированное значение потенциальной энергии, а её изменение в данном процессе – приращение или убыль.

9. Момент силы и момент импульса частицы. Момент силы. Момент импульса. Пара сил. Момент пары сил. Изменение момента импульса. Закон сохранения момента импульса.  Момент силы - векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами.  момент силы частицы определяется как векторное произведение: где   — сила, действующая на частицу, а   — радиус-вектор частицы. Момент импульса - характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Момент импульса замкнутой системы сохраняется. Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов: где   , — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется. (В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как   где   — импульс бесконечно малого точечного элемента системы). В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с. Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется: Момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела и тп). Па́ра сил — совокупность двух сил, которые приложены к одному абсолютно твёрдому телу и при этом равны по модулю и противоположны по направлению.

Момент пары сил: Пара сил представляет собой важный частный случай системы сил. Главным вектором для неё служит нулевой вектор, так что действие пары сил на тело полностью характеризуется её главным моментом, который является свободным вектором (не зависит от выбора полюса) и называется моментом пары сил. В соответствии с этим, момент пары сил не имеет точки приложения (утверждение, иногда называемое «второй теоремой Вариньона»): к каким бы частям твёрдого тела ни прикладывались силы, составляющие пару, при данных модуле и направлении момента пары двигаться оно будет одинаково. Скорость изменения момента импульса частицы относительно некоторой точки равна моменту силы относительно той же точки. Кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы l=r sin a называется плечом силы. Отсюда следует, что точку приложения силы (если, конечно, речь идет о твердом теле) можно сдвигать вдоль линии ??????? сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.  один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этиммомент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем. Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота. В упрощённом виде:  , если система находится в равновесии.

10. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент импульса тела относительно оси. Момент инерции тела относительно оси. Теорема Штейнера. Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа внешних сил при вращении твердого тела. Момент импульса тела относительно оси. Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что  , получим. Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):  Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело: . V Момент инерции тела относительно оси вращения  зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и  чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело. Момент инерции элементарной (точечной) массы mi, отстоящей от оси на расстоянии ri, равен: Момент инерции всего тела относительно оси равен: или, для непрерывно распределенной массы:

 Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции J тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела   относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями: где  — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

m — масса тела, d— расстояние между указанными осями. Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: суммарный момент сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение:  Учитывая, что момент импульса твердого тела  , уравнение динамики твердого тела можно представить в виде    Кинетическая энергия вращающегося тела Кинетическая энергия – величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить: Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью  , то линейная скорость i-й точки  , R_i – расстояние до оси вращения. Следовательно,        Сопоставив 2 формулы, можно увидеть, что момент инерции тела I является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса m – мера инерции при поступательном движении.  В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью  v_c  и вращательного с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого телат Здесь I_c – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.