15.Понятие предиката. Определение, примеры. Логические операции над предикатами.

Понятие ``предикат'' обобщает понятие ``высказывание''. Неформально говоря, предикат – это высказывание, в которое можно подставлять аргументы. Если аргумент один – то предикат выражает свойство аргумента, если больше – то отношение между аргументами.

Пример предикатов. Возьмём высказывания: ``Сократ - человек'', ``Платон - человек''. Оба эти высказывания выражают свойство ``быть человеком''. Таким образом, мы можем рассматривать предикат ``быть человеком'' и говорить, что он выполняется для Сократа и Платона.

Возьмём высказывание: ``расстояние от Иркутска до Москвы 5 тысяч километров''. Вместо него мы можем записать предикат ``расстояние'' (означающий, что первый и второй аргумент этого предиката находятся на расстоянии, равном третьему аргументу) для аргументов ``Иркутск'', ``Москва'' и ``5 тысяч километров''.



Язык логики высказываний не вполне подходит для выражения логических рассуждений, проводимых людьми, более удобен для этого язык логики предикатов.

Пример рассуждения, не выразимого в логике высказываний. Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен.

Это рассуждение на языке логики высказываний можно записать тремя отдельными высказываниями. Однако никакой связи между ними установить не удастся. На языке логики предикатов эти предложения можно выразить с помощью двух предикатов: ``быть человеком'' и ``быть смертным''. Первое предложение устанавливает связь между этими предикатами.

Логические операции над предикатами.

Предикаты так же, как высказывания, могут принимать два значения: “истина” (1) и “ложь” (0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний, в результате чего из элементарных предикатов формируются сложные предикаты (как и в логике высказываний, где из элементарных высказываний формировались сложные, составные). Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов. Эти операции в логике предикатов сохраняют тот же смысл, который был им присвоен в логике высказываний.

Пусть на некотором множестве M определены два предиката P(x) и Q(x).

Определение 1.

Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый (сложный) предикат , который принимает значение “истина” при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “истина”, и принимает значение “ложь” во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинности предиката является общая часть области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. пересечение .

Так, например, для предикатов P(x): “x – четное число” и Q(x): “x кратно 3” конъюнкцией является предикат “x – четное число и x кратно трем”, т.е. предикат “x делится на 6”.

Определение 2.

Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который принимает значение “ложь” при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Ясно, что областью истинности предиката является объединение области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. .

Определение 3.

Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат или , который принимает значение “истина” при всех значениях , при которых предикат P(x) принимает значение “ложь”, и принимает значение “ложь” при тех значениях , при которых предикат P(x) принимает значение “истина”.

Очевидно, что , т.е. множество истинности предиката является дополнением к множеству I_P.

Определение 4.

Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно P(x) принимает значение “истина”, а Q(x) – значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Поскольку при каждом фиксированном справедлива равносильность , то .

Определение 5.

Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который обращается в “истину” при всех тех и только тех , при которых P(x) и Q(x) обращаются оба в истинные или оба в ложные высказывания.

Для его множества истинности имеем:

16.

Свободные и связанные переменные. Кванторы всеобщности и существования, их взаимосвязь.

Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих выcказывание. Чаще всего упоминают: Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»). Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»). В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или квантификацией. В многозначных логиках также вводятся и другие кванторы, например, квантор плюральности (квантор Решера) (обозначается перевёрнутой M, читается «для большинства …»). Содержание [убрать]  1 Примеры 2 Введение в понятие 3 Кванторы в математической логике 3.1 Свободные и связанные переменные 3.2 Операции над кванторами 4 История появления 5 Литература 6 Ссылки 7 Примечания Примеры[править | править исходный текст] Обозначим предикат «x делится на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные): любое натуральное число кратно 5; каждое натуральное число кратно 5; все натуральные числа кратны 5; следующим образом: . Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования: существуют натуральные числа, кратные 5; найдётся натуральное число, кратное 5; хотя бы одно натуральное число кратно 5. Их формальная запись: . Пусть на множестве простых чисел задан предикат : «Простое число нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 — простое чётное число). Подставив перед данным предикатом слово «существует», получим истинное выcказывание «Существует простое число , являющееся нечётным» (например, ). Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова («все», «существует» и другие), называемые в логике кванторами. Кванторы в математической логике[править | править исходный текст] Высказывание означает, что область значений переменной включена в область истинности предиката . («При всех значениях утверждение верно»). Высказывание означает, что область истинности предиката непуста. («Существует при котором утверждение верно»). Свободные и связанные переменные[править | править исходный текст] Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом: Свободные переменные. Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы, свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы ¬F, переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G), все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F. Замкнутая формула. Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением. Связанная переменная. Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K — квантор. Связанное переименованию  Квантор всеобщности (обозначения: , ∀) — это условие, которое верно для всех обозначенных элементов, в отличие от квантора существования, где условие верно только для каких-то отдельных элементов из указанного множества. Формально говоря, это квантор, используемый для обозначения того, что множество целиком лежит в области истинности указанного предиката. Читается как: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…». Квантор всеобщности — это попытка формализации обозначения того, что нечто (логическое выражение) истинно для всего, или для любой относящейся к делу сущности. Применяется в предикатной логике и символической логике. В предикатной логике, квантор существования (экзистенциальный квантификатор) — это предикат свойства или отношения для, по крайней мере, одного элемента области определения. Он обозначается как символ логического оператора ∃ (произносится как «существует» или «для некоторого»). Квантор существования отличается от квантора всеобщности, который утверждает, что свойство или отношение выполняется для всех элементов области.