4. Вычислимость по Тьюрингу

Для алгоритмических проблем часто возникает ситуация, когда надо найти алгоритм для решения задачи, в условие которой входят значения некоторой конечной системы целочисленных параметров, и ожидаемый результат тоже есть целым числом.

Напомним, что числовая функция y=f(x1, x2, ... , xn) называется вычислимой, если существует алгоритм, с помощью которого можно вычислить значение функции для любого набора значений аргументов из области определения функции.

Заметим, что в данном определении понятие алгоритма используется в интуитивном понимании, а потому и понятие вычислимой функции есть интуитивным. Но при этом оказывается, что совокупность вычислимых функций описывается легче, чем совокупность алгоритмов.

Возникает вопрос о функциях, для которых существует МТ, что их вычисляет. Аргумент появляется на ленте до начала вычисления, а значения функции для этого аргумента – те, которые остается на ленте, когда вычисление закончено. Воспользуемся специальным кодированием натуральных чисел в алфавите, который состоит из одного символа – 1: каждое натуральное число n подается (n+1) символом 1, т.е. числа 0,1,2,3,… кодируем словами 1, 11,111, и т.д. При построении машины Тьюринга для вычисления значений числовых функций будем произвольное число х N обозначать словом 1111..1=1^х.

Для записи вектора (x₁,x₂,…,x_n) будем использовать обозначение 1^x11^x2…1^xn или 1^x1+1#1^x2+1…#1^xn+1, или 1^x1+1*1^x2+1…*1^xn+1.

Определение 7.2.1. Частичная числовая n-местная функция f(x₁,…,x_n ) называется вычислимой по Тьюрингу, если существует машина М, которая вычисляет ее таким образом:

1. Если набор значений аргументов (x₁,…,x_n ) принадлежит области определения функции f, то машина М, начинающая работу в конфигурации

q₀(1^x1+1 * 1^x2+1…* 1^xn+1) , (1)

где q₀ – начальное положение, в котором головка МТ рассматривает крайний левый символ, останавливается, окончивши работу в конфигурации

q_z(1^y+1), где y = f(x₁,…,x_n ).

2. Если набор значений аргументов (x₁,…,x_n ) не принадлежит области определения функции f, или таких, что значения функции не принадлежат N, то машина М, начинающая работу в конфигурации (1), работает бесконечно долго, т.е. не переходит в заключительное положение.

Примеры 7.2.1.

1. Рассмотрим базовую функцию следования (или добавления единицы S(x) = x+1). Для этого построим МТ с внешним алфавитом {#,1}, двумя внутренними состояниями {q₀,q_z} и программою:

q₀ 1 q₀ 1 R, q₀ # q_z 1 E (здесь Е вместо 0 или пусто).

2. Вычисление базовой функции тождественности I(x) = x. МТ из внешним алфавитом {#,1} и внутренним {q₀,q_z} алфавитом вычисляет функцию I(x) = x с помощью программы:

q₀ 1 q₀ 1 R, q₀ # q_z # E

3. МТ из внешним алфавитом {#,1} и внутренним {q₀,q_z} алфавитом вычисляет функцию O(x) = 0 с помощью программы:

q₀ 1 q₀ # R, q₀ # q_z 1 E

4. Для вычисления функции I ⁿ_m (x1,x2,…,x_n) = x_m начальная конфигурация

11..11*11..11…*11..11…*11..11 (x₁+1,x₂+1,…,x_m+1,…,x_n+1 раз соответственно). Это может выполнить машина, которая стирает все знаки 1 и *, при этом “считает” до m и оставляет m-ю группу без изменения, и снова до конца стирает все знаки 1 и *. Ясно, что это может выполнить подходящая МТ.

5. МТ из внешним алфавитом {#,1}, внутренним {q₀,q_z} алфавитом и системой команд: q₀ 1 q₀ 1 R, q₀ # q₀ 1 R

с любой начальной конфигурацией будет работать бесконечно долго, заполняя единичками всю ленту справа от начальной точки.

6. Если машина М переводит конфигурацию α₁q₁α₂ в конфигурацию β₁q₂β₂, то обозначим это как М(α₁α₂) = β₁β₂. Запись М(α) будем употреблять также в другом значении: как обозначения машины М с начальным значением α .

Удвоение (перезапись) слова, то есть переработка слова α в алфавите {1}. Для чисел эту задачу решает машина М с системой команд в таб. 7.3.

Таб. 7.3.

X/Q	q0	q1	q2	q3
1	0 Rq1	1Rq1	1Rq2	1Lq3
#	# Rqz	* Rq2	1Lq3
*	* Lq0	* Rq2		* Lq3
0	1Lq0			0Rq0

Машина М при каждом проходе начального числа 1^ заменяет левую с его единиц нулем и заносит (в состоянии q3) одну единицу по правую сторону от 1^ в ближайшую пустую ячейку. Когда все единицы начального числа вычерпаны, каретка возвращается в начальное состояние, заменяя все нули единицами.

7. Сконструируем МТ для определения суммы чисел, заданных не в унарном коде, а разных системах счисления. Например, найдем сумму числа, заданного в восьмеричной и троичной системах счисления, где X={0,1,2,3,4,5,6,7,+,#} внешний алфавит МТ, а Q={q1,q2,q3,q4,q5} – внутренний. Пусть слагаемые соединены знаком +, по левую сторону от знака + размещено слагаемое в восьмеричном коде, а по правую сторону - слагаемое в троичном коде. Идея решения задачи такая: от числа, расположенного по правую сторону, отнимаем единицу (действуя по правилам троичной арифметики), потом перемещаемся в левую сторону и к восьмеричному числу прибавляем единицу, действуя по правилам восьмеричной арифметики. После этого возвращаемся к правому числу и повторяем все операции до тех пор, пока правое слагаемое не будет исчерпано. Наконец, последний раз сдвигаемся в правую сторону, стираем знак + и останавливаемся.

Таб. 7.4.

X/Q	q1	q2	q3	q4	q5
0	2Lq1	L	1Rq4	R
1	0Lq2	L	2Rq4	R
2	1Lq2	L	3Rq4	R	#Rq5
3			4Rq4	R
4			5Rq4	R
5			6Rq4	R
6			7Rq4	R
7			0Lq3	R
+	#Rq5	Lq3		R
#			1Rq4	Lq1	qz

8. В таб. 7.5. приведена машина Тьюринга, подсчитывающая количество единиц, записанных в ячейках подряд без пропусков в алфавите Х = {1}, в десятичной системе счисления. Для решения задачи расширим алфавит Х' = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,+}

Таб.7.5.

X/Q	q0	q1	q2	q3	q4	q5	q6
0						1Rq6	0Rq6
1	+Lq5	1Rq2	1Rq2	#Lq4	1Lq4	2Rq6	1Rq6
2						3Rq6	2Rq6
3						4Rq6	3Rq6
4						5Rq6	4Rq6
5						6Rq6	5Rq6
6						7Rq6	6Rq6
7						8Rq6	7Rq6
8						9Rq6	8Rq6
9						0Lq5	9Rq6
+		#qz			+Lq5		+Rq1
#		q1L	#q3L			1Rq6	0Rq6

Более оптимальный алгоритм приведен в таблице 7.6.

Таб.7.6.

X/Q	q0	q1	q2	q3
0		1q2	R	L
1	+Lq1	2q2	R	L
2		3q2	R	L
3		4q2	R	L
4		5q2	R	L
5		6q2	R	L
6		7q2	R	L
7		8q2	R	L
8		9q2	R	L
9		0q1L	R	L
+	+R	L	+q0	#L
#	#Lq3	1q2		qzR

9. В таб. 7.7. приведена машина Тьюринга, которая переводит число из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Для решения задачи расширим алфавит Х' = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,+}

Таб. 7.7.

X/Q	q0	q1	q2	q3	q4	q5	q6
0	+q1R	R	9q2L	L	1q1	L	+q1R
1	L	R	0q3	L	0L	L	q1
2	L	R	1q3	L			q1
3	L	R	2q3	L			q1
4	L	R	3q3	L			q1
5	L	R	4q3	L			q1
6	L	R	5q3	L			q1
7	L	R	6q3	L			q1
8	L	R	7q3	L			q1
9	L	R	8q3	L			q1
+		q6R	q5	q4L	L	#L	+R
#	+q1R	q2L			1q1	qZR	q5L